【概率】BZOJ4008 [HNOI2015]亚瑟王

【题目】
BZOJ
有$n$张牌，每张牌有发动概率$p_i$和伤害值$d_i$。进行$r$轮游戏，每轮游戏按编号顺序考虑每一张未发动过的牌以$p_i$概率发动，若发动成功或当前为最后一张牌则进入下一轮，求总伤害的期望。$T$组数据。$T\le 444,n\le 220,r\le 132,d_i\le 1000$

【解题思路】
不妨采用期望的定义来计算答案。

如果一轮一轮算显然不太好算。观察到一张牌是否有贡献仅和它以及它前面的牌有关，不妨考虑这样一个状态$f_{i,j}$表示到第$i$张牌，一共使用过$j$张牌的概率。

考虑转移，则第$i$张牌有发动与不发动两种情况。

• 发动，则前$i-1$张牌有$j-1$张牌发动，对于第$i$张牌，在$r$轮中有$j-1$轮一定不会再发动，因此$f_{i,j}+=(1-(1-p_i{)}^{r-j+1})f_{i-1,j-1}$
• 不发动，则前$i-1$张牌有$j$张牌发动，对于第$i$张牌，再$r$轮中有$j$轮一定不会再发动，因此$f_{i,j}+=(1-p_i{)}^{r-j}{f}_{i-1,j}$

上面这个发动的柿子好像有点奇怪，实际上是因为这张牌可以在前$j$轮的任意一轮发动，就是$(p_i+p_i(1-p_i)+p_i(1-p_i{)}^2+\cdots +p_i(1-p_i{)}^j)f_{i-1,j-1}$，然后用个等比数列就和就行了。
好像还是很奇怪？感觉这个概率有点问题？

感性理解一下应该是：如果我用了很多次，只有我第一次用的算数，后面拿的不算。这样当我转移的时候，就只算了最开始用了一个，后面用的和不用的概率之和等于$1$，在我考虑转移到达的下一个时就可以绑在一起考虑，比拟成第$i$张牌已经被移除了。

那么一张牌发动的概率就是$g_i={\sum }_{j=0}^{\min (i-1,r)}(1-(1-p_i{)}^{r-j})f_{i-1,j}$
复杂度$O(Tnr\log n)$，$\log n$来自懒人的快速幂。

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef double db;
const int N=222;
int n,r,T;
db ans,p[N],d[N],f[N][N];

db qpow(db x,int y)
{
	db res=1.0;
	for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)res=res*x;
	return res;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ4008.in","r",stdin);
	freopen("BZOJ4008.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&r);
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]);
		for(int i=0;i<=n;++i) for(int j=0;j<=r;++j) f[i][j]=0;

		f[1][0]=qpow(1-p[1],r);f[1][1]=1-f[1][0];
		for(int i=2;i<=n;++i) for(int j=0;j<=min(i,r);++j)
		{
			if(j) f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1-qpow(1-p[i],r-j+1));
			if(i^j) f[i][j]+=f[i-1][j]*qpow(1-p[i],r-j);
		}
		ans=f[1][1]*d[1];
		for(int i=2;i<=n;++i)
		{
			db t=0;
			for(int j=0;j<=min(i-1,r);++j) t+=f[i-1][j]*(1-qpow(1-p[i],r-j));
			ans+=t*d[i];
		}
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
	return 0;
}