Fetiss
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不定积分

原函数存在定理

连续函数一定有原函数。

不定积分的原理

不定积分实际上就是求函数在某一区间上的原函数。

可以通过不定积分表来求原函数。

性质

  1. 可加性
  2. 数乘性

换元积分

第一类积分法

设具有原函数，且可导，则有换元公式

具体过程：

若，将分解成，

就是要拆分成这样子的两个部分

精髓在于，令，则有

则有

例题1

注意到,令，则

例题2

\begin{align} &\int \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} d x \\=&\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} d x\\ =&\int \frac{e^{x}dx}{e^{2 x}+1}\\ =&\int \frac{de^x}{(e^{x})^2+1}\\ =&\ \arctan e^x+C \end{align}

这里是因为

例题3⭐

\begin{align} &\int \frac{t^2+1}{t^4+1}dt\\ =&\int \frac{1+t^{-2}}{t^2+t^{-2}}\\ =&\int \frac 1{(t-\frac 1 t)^2+2}d(t-\frac 1 t)\\ =&\frac 1 2\int\frac 1{(\frac{t-\frac 1 t} {\sqrt{2}})^2+1}d(t-\frac 1 t)\\ =&\frac 1 2 \sqrt 2\int\frac 1{(\frac{t-\frac 1 t} {\sqrt{2}})^2+1}d (\frac{t-\frac 1 t}{\sqrt 2})\\ =&\frac{\sqrt 2}2 \arctan(\frac{t-\frac 1 t}{\sqrt 2})+C \end{align}

思想：

  1. 同除，凑微分。

  1. 对于，联想，从而有

例题4

注意到

原式等于
\begin{align} &\int \frac{e^{\sin x}\left(\cos ^{2} x-\sin x\right) d x}{\cos x \cdot e^{\sin x}\left(1+\cos x \cdot e^{\sin x}\right)}\\ =&\int \frac{d\left(\cos x \cdot e^{\sin x}+c\right)}{\cos x e^{\sin x}\left(1+\cos x \cdot e^{\sin x}\right)}\\ =&\int\left(\frac{1}{e^{\sin ^{2}(2 x)}}-\frac{1}{1+\cos x e^{\sin x}}\right) d\left(\cos x e^{\sin x}+c\right)\\ =&\ln \left|\frac{e^{\sin } \cos x}{1+e^{\sin x} \cdot \cos x}\right|+C \end{align}

例题5

设是的一个原函数，，当时，，求.
\begin{align} &\int f(x) F(x) d x-\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} d x=C \\ =&\int F(x) d F(x)-2 \int \arctan \sqrt{x} d(\arctan \sqrt{x})=C\\ =&\frac{1}{2} F^{2}(x)-(\arctan \sqrt{x})^{2}=C\\ =&F(x)=\sqrt{2(\arctan \sqrt{x})^{2}+2 C} \quad(x>0) \end{align}

第二类换元法

三角换元

型的，可令

且注意到，

对于，令

注意到

上式等于

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他