洛谷 P3172 [CQOI2015]选数 莫比乌斯反演+杜教筛

题目描述

我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

输入输出格式

输入格式:
输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。

输出格式:
输出一个整数,为所求方案数。

输入输出样例

输入样例#1:
2 2 2 4
输出样例#1:
3
说明

样例解释

所有可能的选择方案:(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组:(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据,1<=N,K<=10^9,1<=L<=H<=10^9,H-L<=10^5

分析:
我们设f[d]为n个数gcd为d,g[d]为d|gcd的方案数,显然有

f(d)=d|iμ(i/d)g(i) f ( d ) = ∑ d | i μ ( i / d ) g ( i )

g(i)=(HiL1i)n g ( i ) = ( ⌊ H i ⌋ − ⌊ L − 1 i ⌋ ) n

于是可以反演一下,
f(d)=i=1Hdμ(i)g(id) f ( d ) = ∑ i = 1 ⌊ H d ⌋ μ ( i ) g ( i ∗ d )

f(d)=i=1Hdμ(i)(HidL1id)n f ( d ) = ∑ i = 1 ⌊ H d ⌋ μ ( i ) ∗ ( ⌊ H i ∗ d ⌋ − ⌊ L − 1 i ∗ d ⌋ ) n

后面整除分块,然后杜教筛 μ μ ,就可以了。

代码:

// luogu-judger-enable-o2
#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long

const int maxn=2e6+6;
const LL p=1000000007;

using namespace std;

LL n,k,a,b,cnt,ans;
LL mul[maxn],prime[maxn],not_prime[maxn],f[maxn];

map  h;

void getmul(LL n)
{
    mul[1]=1;
    for (LL i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            mul[i]=-1;
        }
        for (LL j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                mul[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mul[i*prime[j]]=-mul[i];
        }
    }
    for (LL i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+mul[i];
}

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

LL getsum(LL n)
{
    if (n<=2e6) return f[n];
    LL c=h[n];
    if (c) return c;
    LL sum=0;
    for (LL i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        sum+=(last-i+1)*getsum(n/i);
    }
    c=1-sum;
    h[n]=c;
    return c;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&a,&b);
    getmul(2e6);
    a=(a-1)/k; b=b/k;
    LL x=0,y=0;         
    for (int i=1,last;i<=b;i=last+1)
    {
        if (a/i==0) last=b/(b/i);
               else last=min(a/(a/i),b/(b/i));
        y=getsum(last);
        ans=(ans+(y+2*p-x)%p*power((b/i+p-a/i)%p,n)%p)%p;
        x=y;
    }
    printf("%lld",ans);
}

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