2019牛客暑期多校训练营（第一场） D.Parity of Tuples (FWT)

D.Parity of Tuples

题目大意:

给一个$n\ast m$矩阵$(a{)}_{ij}$，行向量为$v_i$, 求${\oplus }_{x=0}^{2^k}(count(x)\ast 3^{x}mod(10^9+7))$
其中$count(x)$表示$\frac{1}{2^m}{\sum }_i^n{\prod }_j^m(1-(-1{)}^{|a_{ij}andx|})$, $\oplus$表示异或,$|a|$表示a的二进制中1的个数。

数据范围：

$1\le n\le 10^5$
$1\le m\le 10$
$1\le k\le 20$
$0\le a_{i,j}<2^k$

解题过程：

考虑化简以上$count(x)$,由于$(-1{)}^{|aandx|+|bandx|}=(-1{)}^{|(a\oplus b)andx|}$
则展开$\prod$后得到:
$$\frac{1}{2^m}\sum _i^n\sum _{S\subseteq v_i}(-1{)}^{size(S)}\ast (-1{)}^{|({\oplus }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{}{j\in S}}{a}_{ij})andx|}$$
其中s为枚举每个行向量的二进制集合。

这里可以观察到和离散沃尔什变换相似的地方，即：

$C_k={\sum }_{i\oplus j=k}{A}_i\ast B_j$
$DWT(A{)}_i={\sum }_j^n{A}_j\ast f_{i,j}$
$DWT(C{)}_i=DWT(A{)}_i\ast DWT(B{)}_i$
$\Rightarrow f_{i,j}\ast f_{i,k}=f_{i,j\oplus k}$
$\Rightarrow and:f_{i,j}=[iandj==i]$
$\Rightarrow or:f_{i,j}=[iandj==j]$
$\Rightarrow xor:f_{i,j}=(-1{)}^{|iandj|}$

注意到$xor$的形式与上述形式完全一致，所以令
$$cn{t}_x=\sum _i^n\sum _{S\in i}(-1{)}^{size(S)}$$
其中$x={\oplus }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{}{j\in S}}{a}_{i,j}$，则对于$cnt$做沃尔什变换可得：
$$DWT(cnt{)}_x=\sum _j^{2^k}\sum _i^n\sum _{S\subseteq v_i}(-1{)}^{size(S)}\ast (-1{)}^{|jandx|}$$
由此可得：
$$count(x)=\frac{1}{2^m}\ast DWT(cnt{)}_x$$
预处理$cn{t}_x$复杂度$O(n{2}^m)$，$FWT$复杂度$O(k{2}^k)$，总复杂度为$O(n{2}^m+k{2}^k)$

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#include 
using namespace std;

inline int read() {
	int x = 0, ch = getchar(); bool fg = 1;
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') fg = 0; ch = getchar(); } 
	while(ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	return fg ? x : -x;
}
const int mod = 1e9 + 7;
void FWT(vector<int> &a,int n) {
    for(int i = 2;i <= n; i <<= 1) {
        for(int j = 0; j < n; j += i) {
            for(int d = 0, w = i >> 1; d < w; d++){
                int u = a[j + d], v = a[j + d + w];
                a[j + d] = u + v, a[j + d + w] = u - v;
            }
        }
    }
}
void dfs(vector<int> &cnt, const vector<int> &a, int i, int x, int p) {
	if(i < a.size()) {
		dfs(cnt, a, i + 1, x, p);
		dfs(cnt, a, i + 1, x ^ a[i], -p);
	}
	else {
		cnt[x] += p;
	}
}
int main() {
	int n, m, k;
	while(~scanf("%d%d%d", &n, &m, &k)) {
		auto cnt = vector<int>(1 << k, 0);
		auto a = vector<int>(m);
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			for(int j = 0; j < m; j++) a[j] = read();
			dfs(cnt, a, 0, 0, 1);
		}
		FWT(cnt, 1 << k);
		int ans = 0, pw = 1 << m, w = 1;
		for(int x = 0; x < (1 << k); x++) {
			ans ^= (long long)w * (cnt[x] / pw) % mod;
			w = (long long)w * 3 % mod;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}