gcd(i, j) = k的个数

$题目:$
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$$

$做法：$

$设f(k)为gcd(i,j)=k的个数$, $g(k)为满足k|gcd(i,j)的对数$，$那么有下面的关系$
$$g(k)=\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }f(kx)$$

$我们只需要快速求出g(k),可知如果i,j能被k整数，那么它们可以写成i=k\cdot x_1,j=k\cdot x_2的形式,我们只需求多少对x_1,x_2即可,可得$
$$g(k)=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \lfloor \frac{m}{k}\rfloor$$

$根据莫比乌斯反演的变形，可求得f(k)$

$$f(k)=\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\mu (x)g(kx)=\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\lfloor \frac{n}{kx}\rfloor \lfloor \frac{m}{kx}\rfloor$$

$$\begin{gathered} 显然f(k)就是答案,暴力求复杂度是O(n)的，如何快速求？ \\ 这里可以使用数论分块来做,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 最多有O(\sqrt{n}个取值) \end{gathered}$$

$复杂度可以做到O(n+m)$