群论

群论


定义

G是一个集合,* 为定义在G集合的一个运算
如果满足一下性质,那么(G,* )为一个群。

  1. 封闭性:∀?,? ∈ ?: ? ∗ ? ∈ ?;
  2. 结合律:∀?,?,? ∈ ?: ? ∗ ? ∗ ? = ? ∗ ? ∗ ? ;
  3. 单位元:∃? ∈ ?,∀? ∈ ?: ? ∗ ? = ? ∗ ? = ?;
  4. 逆元:∀? ∈ ?,∃? ∈ ?:? ∗ ? = ? ∗ ? = ?。

简单来说, ?,× 就是一个群。


置换

一个 1,? → 1,? 的一一映射。
置换群的元素是置换,运算是置换的连接。


一些概念

??(k不动置换类):? ∈ 1,? ,那么?中使得?保持不变置换的全体为??。
??(k等价类):? ∈ 1,? ,?在置换群?作用下的轨迹,即?在?作用下可变为的所有元素 的集合,叫做??。
?(??):表示在置换??下的不动点个数。


一些结论

根据定义有:
∣ E k ∣ ∣ Z k ∣ = ∣ G ∣ { |E_k||Z_k|=|G| } EkZk=G
∑ j n ∣ Z j ∣ = ∑ i ∣ G ∣ D ( a i ) { \sum_j^n{|Z_j|}=\sum_i^{|G|}{D(a_i)} } jnZj=iGD(ai)
Burnside引理:
L = 1 ∣ G ∣ ∑ i ∣ G ∣ D ( a i ) {L={\frac{1}{ |G| }}\sum_i^{|G|}D(a_i) } L=G1iGD(ai)
L为等价类个数


循环

( a 1 a 2 … a n ) = ( a 1 a 2 … a n a 2 a 3 … a 1 ) {(a_1a_2 …an)=(_{a_1 a_2 … a_n}^{a_2 a_3 … a_1})} (a1a2an)=(a1a2ana2a3a1)为?阶循环。
一个置换可以写成若干个互不相交的循环的乘积。
置换的循环节数为上述表示中循环的个数。


一些结论

令??循环节数为?(??),m为颜色数
D ( a i ) = m C ( a i ) {D(ai)=m^{C(a_i)}} D(ai)=mC(ai)
polya定理:
L = 1 ∣ G ∣ ∑ i ∣ G ∣ m C ( a i ) { L = {\frac{1}{|G|}}{\sum_i^{|G|}}m^{C(a_i)} } L=G1iGmC(ai)


暂结

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