《概率统计与随机过程》——笔记3

第三章 二维随机变量

3.1 联合分布

定义1 设试验E的样本空间为S={e}，而X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。
定义 2 设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数x,y，二元函数

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称之为随机变量X和Y的联合分布函数。

二维分布函数F(X,Y)的性质：
1. 取值范围： 0≤F(x,y)≤1 ,且

F(x,−∞)=F(−∞,y)=F(−∞,−∞)=0F(+∞,+∞)=1

2. F(x,y)对x或对y单调不减。
3. F(x,y)对x或对y右连续。
4. 对任意实数 x1<x2,y1<y2 ，恒有

F(x2,y2)+F(x1,y1)−F(x1,y2)−F(x2,y1)≥0

定义 3 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对 (xi,yi),i,j=1,2,3,... ，则称(X,Y)是离散型随机变量。记

P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,3,...

称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称随机变量X和Y的联合分布律。
定义 4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若有非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,恒有

F(x,y)=∫y−∞∫x−∞f(u,v)dudv

则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为连续型随机变量(X,Y)的概率密度，称为随机变量X与Y的联合概率密度。

常用的二维连续型随机变量有下面两种：
1. 均匀分布
若随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={1A,(x,y)

2. 正态分布
若随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ1)2σ22]}

式中， μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 均为常数，且 −∞<μ1<+∞,−∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1, 则称随机变量(X,Y)服从参数为 μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 的二维正态分布，记作

(X,Y)∼N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ)

3.2 边沿分布律与条件分布律

3.2.1 边沿分布律

设(X,Y)的分布律为

pij=PX=xi,Y=yh,i,j=1,2,3...

由于 ∑∞j=1{Y=yj}=S 且 {Y=y1},{Y=y2},...,{Y=yj},... 互不相容，故由概率性质得(X,Y)关于X的边沿分布律为

pi.=P{X=xi}=P{(X=xi)[∑j=1∞(Y=yj)]}=P{∑j=1∞(X=xi,Y=yj)}=∑j=1∞P{X=xi,Y=yj}=∑j=1∞pij,i=1,2,3,...

即

pi.=∑j=1∞pij,i=1,2,3...

同理，(X,Y)关于Y的边沿分布律为 p.j=P{Y=yi}=∑∞j=1pij,j=1,2,3,...

3.2.2 条件分布律

定义 5 对于二维离散型随机变量(X,Y)，当 p.j>0 时，称

P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j,i=1,2,3,...

为在 Y=yj 的条件下X的条件分布律。
（X,Y对调后同理，不再赘述）

3.3 边沿分布函数

设(X,Y)的分布函数为F(x,y),记(X,Y)关于X和关于Y的边沿分布函数分别为 FX(x),FY(y) ，则

FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)

同理 FY(y)=F(+∞,y)

边沿分布函数可由联合分布函数得到。

3.4 边沿概率密度与条件概率密度

3.4.1 边沿概率密度

设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),可得

FX(x)=F(x,+∞)=∫x−∞[∫+∞−∞f(x,y)dy]dxFY(y)=F(+∞,y)=∫y−∞[∫+∞−∞f(x,y)dx]dy

关于X的边沿概率密度为

fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy

关于Y的边沿概率密度为

fY(x)=∫+∞−∞f(x,y)dx

求二维正态分布的两个边沿概率密度可知：其两个边沿分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ρ 。于是，对于给定参数 μ1,μ2,σ1,σ2, 不同的参数 ρ 对应不同二维正态分布，他们的边沿分布式完全相同的。因此，联合分布可以完全确定他的边沿分布，但边沿分布一般情况下不能确定联合分布。

3.4.2 条件概率密度

定义 6 对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果存在极限

limε→0+P{X≤x|y−ε<Y≤y+ε}

则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记为 FX|Y(x|y)
可推出，在条件Y=y下X的条件概率密度，记作 fX|Y=(x|y) ,为

fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y),fY(y)≠0

3.5 相互独立的随机变量

定义 7 设X,Y为两个随机变量，若对任意实数x,y，有

P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}

则称X,Y相互独立，简称独立。
定理 1 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律及边沿分布律分别为 pij,pi.,p.j,i,j=1,2,3,... 则X与Y相互独立的充分必要条件是：对任意的i,j，有 pij=pi.p.j
定理 2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度及边沿概率密度分别为 fX(x),fY(y) 则X与Y相互独立的充分必要条件是： f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)

独立性概念可以推广到有限个或可列个随机变量的情形
定义 8 设 X1,X2,...,Xn 为n个随机变量，若对任意实数 x1,x2,...,xn ，恒有

F(x1,x2,...,xn)=FX1(x1)FX2(x2)...FXn(xn)

式中， F(x1,x2,...,xn),FXi(xi),i=1,2,...,n 分别为 X1,X2,...,Xn 的联合分布函数和边沿分布函数，则称n个随机变量 X1,X2,...,Xn 相互独立。
定理 3 若 (X1,X2,...,Xn) 是n为连续型随机变量，则 X1,X2,...,Xn 相互独立的充分必要条件是 f(x1,x2,...,xn)=fX1(x1)fX2(x2)...fXn(xn)