[bzoj2301][HAOI2011]Problem b 莫比乌斯反演+ 容斥原理

Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

 

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

 

Sample Input

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output

14

3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

这道题目其实是POI 2017 ZAP—Queries的升级版。首先我们将答案表示为，

再利用容斥原理，把原来的sigma函数拆一拆搞一搞，利用一个类似前缀和的容斥就将原来的式子变成了下面这样：          

然后很明显就变回了之前POI 2017 ZAP—Queries要求的东西，即ans(b,d)-ans(b,c-1)-ans(a-1,d)+ans(a-1,c-1)

AC代码:

#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int Maxn=10000005;
ll pri[Maxn/10],u[Maxn],sum[Maxn],k,t,a,b,c,d;
bool vis[Maxn];
inline ll mn(ll x,ll y){
    return x'9'){c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0'){x=x*10;x=x+c-'0';c=getchar();}
    return x;
}
void prep(){//预处理 
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<=Maxn;++i){//筛素数+求莫比乌斯函数 
        if(!vis[i]){pri[++k]=i;u[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=k&&pri[j]*i<=Maxn;++j){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
            u[pri[j]*i]=-u[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=Maxn;++i){
        sum[i]=sum[i-1]+u[i];//前缀和 
    }
}
inline ll work(ll n,ll m,ll d){
    ll x,ans=0,lim;n/=d;m/=d;
    lim=mn(n,m);
    for(int i=1;i<=lim;i=x+1){
        x=mn(n/(n/i),m/(m/i));//分块 
        ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[x]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}
int main(){
    prep();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
	    a=read();b=read();c=read();d=read();k=read();
	    printf("%lld\n",work(a-1,c-1,k)+work(b,d,k)-work(a-1,d,k)-work(b,c-1,k));//容斥原理
    }
    return 0;
}