HDU_5528_Count a * b （推式子+积性函数）*

参考一位很牛的大佬博客：https://blog.csdn.net/firstlucker/article/details/49336427

https://www.cnblogs.com/edward108/p/7636856.html
 
 
 
 
 
 
 
 
 

分析：

$$\begin{gathered} f(n)=n^2-{\sum }_{i=0}^{n-1}{\sum }_{j=0}^{n-1}n|(i\ast j) \\ =n^2-{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}n|(i\ast j) \\ 注：表明j中含有（n/gcd(i,n)）这个因子，故 \\ =n^2-{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{\frac{n}{gcd(i,n)}|j,1\le j\le n}1 \\ =n^2-{\sum }_{i=1}^n\frac{n}{n/gcd(i,n)} \\ =n^2-{\sum }_{i=1}^{n}gcd(i,n) \\ 注：gcd(i,n)可以取的值设为d,则有d|n,d|i, \\ 令i=j\ast d,故 \\ =n^2-{\sum }_{d|n}{\sum }_{j\ast d=1}^{n}d[gcd(j\ast d,n)=d] \\ =n^2-{\sum }_{d|n}{\sum }_{j\ast d=1}^{n}d[gcd(j,\frac{n}{d})=1] \\ =n^2-{\sum }_{d|n}{\sum }_{j=1}^{\frac{n}{d}}d[gcd(j,\frac{n}{d})=1] \\ =n^2-{\sum }_{d|n}d{\sum }_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(j,\frac{n}{d})=1] \\ 后半部分恰好是\phi (\frac{n}{d})的值 \\ =n^2-{\sum }_{d|n}d\phi (\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

接下来计算g(n)
$$\begin{gathered} g(n)={\sum }_{m|n}f(n) \\ ={\sum }_{m|n}{m}^2-{\sum }_{m|n}{\sum }_{d|m}d\phi (\frac{m}{d}) \\ 注：后半部分中的d满足d|n,改变枚举顺序，先确定d,令i=\frac{m}{d},则m=i\ast d,由于m|n,故(i\ast d)|n,又d|n,所以i|\frac{n}{d} \\ ={\sum }_{m|n}{m}^2-{\sum }_{d|n}{\sum }_{i|\frac{n}{d}}d\ast \phi (i) \\ ={\sum }_{m|n}{m}^2-{\sum }_{d|n}d{\sum }_{i|\frac{n}{d}}\phi (i) \\ 注：后半部分恰好是欧拉函数的性质:n={\sum }_{d|n}\phi (d) \\ ={\sum }_{m|n}{m}^2-{\sum }_{d|n}d\ast \frac{n}{d} \\ ={\sum }_{m|n}{m}^2-{\sum }_{d|n}n \end{gathered}$$

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$$\begin{gathered} 后半部分就是n乘以n的因子个数，对于前半部分， \\ 先考虑n是一个素因子的幂的情况，n=p^{\alpha } \\ m可以取p^0,p^1,\cdots ,p^{\alpha }. \\ 那么{\sum }_{m|n}{m}^2=p^0+p^2+p^4+\cdots +p^{2\alpha } \\ 对于这个等比数列，可以在进行求\alpha 的过程中，对其进行累加， \\ 或者通过等比数列求和公式进行计算，不过得用到防溢出操作 \\ 对于一般的n={\prod }_{i=1}^r{p}_i^{{\alpha }_i}，把每个结果相乘就行(积性函数） \\ {\sum }_{m|n}{m}^2={\prod }_{i=1}^r(p_i^0+p_i^2+p_i^4+\cdots +p_i^{2{\alpha }_i}) \\ 通过这个式子也可以发现n的因子个数就是，每种因子可以有\alpha +1种选择，然后相乘就得到n的因子个数 \\ 最后那个2^{64}说是使用unsignedlonglong运算 \end{gathered}$$
复杂度：20000*32左右
 
 
 
 
 
 
 
 
 

对于用等比数列求和的，需要防溢出操作：a，b都比较大，c比较小，计算a*b/c（保证ab%c==0），可以转化为计算：
(a/c）*(b/c)*c+a%c*(b/c)+b%c*（a/c）

#include 

using namespace std;
#define ull unsigned long long 


const int N=1e5+10;
int prime[N];


void get_prime()
{
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!prime[i]){
			prime[++prime[0]]=i;
			
		}
		for(int j=1;j<=prime[0]&& i*prime[j]<N;j++)
		{
			prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				break;
			}
		}
	}
}

void solve(ull n)
{
	ull ans=1,res=n;//res记n的因子个数
	int alpha=0;
	for(int i=1;i<=prime[0]&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
	{
		ull tmp=1,alpha=0;
		ull ts=0;//p^2i的和
		ts=tmp;
		if(n%prime[i]==0)
		{
			while(n%prime[i]==0)
			{
				alpha++;
				tmp=tmp*prime[i]*prime[i];
				ts+=tmp;
				n/=prime[i];
			}
			ans=ans*ts;
			res*=(alpha+1);
		}
		
	}
	if(n>1)
	{
		res*=2;
		ans=ans*(1+(ull)n*n);
	}
	printf("%llu\n",ans-res);
}

int main()
{
	get_prime();
	int t;
	ull n;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%llu",&n);
		solve(n);
	}
    return 0;
}