线性方程组（一）
小结
- 线性方程组的定义
- 矩阵的定义
- 使用初等行变换解线性方程组
- 通过线性方程组的三角形形式快速判断方程组是否相容
线性方程组
包含变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn的线性方程是形如 a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1 + a_2x_2+ \cdots + a_nx_n = b a1x1+a2x2+⋯+anxn=b的方程，其中b与系数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an是实数或复数，通常是已知数。下标 n n n可以是任意正整数。
线性方程组是由一个或几个包含相同变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn的线性方程组成的。
线性方程组的解是一组数 ( s 1 , s 2 , ⋯ , s n ) (s_1,s_2,\cdots,s_n) (s1,s2,⋯,sn)，用这组数分别代替 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn时所有方程的两边相等。
方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。若两个线性方程组有相同的解集，则这两个线性方程组称为等价的。
线性方程组的解有下列三种情况：
- 无解
- 有唯一解
- 有无穷多解
我们称一个线性方程组时相容的，若它有一个解或无穷多个解；称它是不相容的，若它无解。
矩阵记号
一个线性方程组包含的主要信息可以用一个称为矩阵的紧凑的矩形阵列表示。给出方程组 { x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10，把每一个变量的系数写在对齐的一列中，矩阵 [ 1 − 2 1 0 2 − 8 5 0 − 5 ] \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡105−2201−8−5⎦⎤称为方程组的系数矩阵。 [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 5 0 − 5 10 ] \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤称为它的增广矩阵。
矩阵的维数说明它包含的行数和列数。若 m , n m,n m,n是正整数， m × n m \times n m×n矩阵是一个有 m m m行 n n n列的数的矩形阵列。（行数写在前面）
解线性方程组
解线性方程组 { x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10
解：在消去未知数的同时用相应的系数矩阵表示出来
- 保留方程1中的 x 1 x_1 x1，把其它方程中的 x 1 x_1 x1消去
{ x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 10 x 2 − 10 x 3 = 10 [ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 0 10 − 10 10 ] \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 10x_2 - 10x_3 = 10 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=02x2−8x3=810x2−10x3=10⎣⎡100−22101−8−100810⎦⎤ - 把方程2乘以1/2，使 x 2 x_2 x2的系数变成1
{ x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 − 4 x 3 = 4 10 x 2 − 10 x 3 = 10 [ 1 − 2 1 0 0 1 − 4 4 0 10 − 10 10 ] \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ 10x_2 - 10x_3 = 10 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=0x2−4x3=410x2−10x3=10⎣⎡100−21101−4−100410⎦⎤ - 利用方程2中的 x 2 x_2 x2项消去方程3中的项 10 x 2 10x_2 10x2，并消去系数
{ x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 − 4 x 3 = 4 x 3 = − 1 [ 1 − 2 1 0 0 1 − 4 4 0 0 1 − 1 ] \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=0x2−4x3=4x3=−1⎣⎡100−2101−4104−1⎦⎤
新的方程组是三角形形式 - 利用方程3中的 x 3 x_3 x3项消去方程1中的 x 2 x_2 x2项和方程2中的 − 4 x 3 -4x_3 −4x3项
{ x 1 − 2 x 2 = 1 x 2 = 0 x 3 = − 1 [ 1 − 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 − 1 ] \begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad\qquad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2=1x2=0x3=−1⎣⎡100−21000110−1⎦⎤ - 利用方程2中的 x 2 x_2 x2项消去方程1中的 − 2 x 2 -2x_2 −2x2项
{ x 1 = 1 x 2 = 0 x 3 = − 1 [ 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 − 1 ] \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad\qquad\qquad \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1=1x2=0x3=−1⎣⎡10001000110−1⎦⎤ - 最终，求得原方程组的唯一解是 ( 1 , 0 , − 1 ) (1,0,-1) (1,0,−1)
上诉解方程运用了三个基本变换，我们称之为初等行变换
- （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
- （对换变换）把两行对换
- （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数
我们称两个矩阵为行等价的，若其中一个矩阵可以经一系列初等行变换称为另一个矩阵。若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。
存在与唯一性
确定方程组 { x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_2 - 8x_3 = 8 \\ 5x_1 - 5x_3 = 10 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10是否有解
解：通过初等行变化将方程组变成三角形形式
{ x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 − 4 x 3 = 4 x 3 = − 1 [ 1 − 2 1 0 0 1 − 4 4 0 0 1 − 1 ] \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ x_2 - 4x_3 = 4 \\ x_3 = -1 \\ \end{cases} \qquad\quad \left[\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧x1−2x2+x3=0x2−4x3=4x3=−1⎣⎡100−2101−4104−1⎦⎤
这时我们已经确定了 x 3 x_3 x3，通过回代法可一次确定 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2的值。故该方程组有解。
确认方程组 { x 2 − 4 x 3 = 8 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 1 4 x 1 − 8 x 2 + 12 x 3 = 1 \begin{cases} x_2 - 4x_3 = 8 \\ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ 4x_1 - 8x_2 + 12x_3 = 1 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x2−4x3=82x1−3x2+2x3=14x1−8x2+12x3=1是否相容
解：通过初等行变化将方程组变成三角形形式。
{ 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 1 x 2 − 4 x 3 = 8 0 = 15 [ 2 − 3 2 1 0 1 − 4 8 0 0 0 15 ] \begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ x_2 - 4x_3 = 8 \\ 0 = 15 \\ \end{cases} \qquad \left[\begin{matrix} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 15 \\ \end{matrix}\right] ⎩⎪⎨⎪⎧2x1−3x2+2x3=1x2−4x3=80=15⎣⎡200−3102−401815⎦⎤
显然这个三角形方程组是矛盾的，故该方程组是不相容的。