bzoj4407: 于神之怒加强版

链接

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407

题解

夜里挑灯做题，梦回莫比乌斯。

　　所以这是一道莫比乌斯反演。
　　设 n<m
　　根据题意，我们写出式子
　　

ans=∑x=1nxk∑i=1⌊n/x⌋∑j=1⌊m/x⌋[gcd(i,j)=1]

　　根据经验，我们得知
　　

ans=∑x=1nxk∑i=1⌊n/x⌋μ(i)⌊nix⌋⌊mix⌋

　　然后我就写了一个SB暴力 O(Tn34) 交上去T了一发。
　　根据题解，我们学会
　　

ans=∑x=1nxk∑x|dnμ(dx)⌊nd⌋⌊md⌋　　=∑d=1n⌊nd⌋⌊md⌋∑x|dxkμ(dx)

　　令 g(x)=xk ，显然 g(x) 是完全积性函数。
　　因此右面的那一坨就是一个狄利克雷卷积。
　　令 f(d)=(g∗μ)(d)
　　根据狄利克雷卷积的运算性质， f(d) 也是积性函数。
　　所以 f(d) 就可以线性筛，然后处理出前缀和之后，每次询问就变成 O(N−−√) 的了。
　　那么问题来了，怎么线性筛？框架请参考国家集训队论文，任之洲的《积性函数求和的几种方法》。这里只介绍一些不好实现的细节。
　　对于一个质数，可以直接算出其 f(x)=xk−1 ，这个是根据 dirchlet 卷积的定义。对于能拆分成不同质数的数，直接搞即可。
　　对于一个只有一种素数因子的数，以由4推出8为例。
　　 f(4)=g(1)μ(4)+g(2)μ(2)+g(4)μ(1)
　　 f(8)=g(1)μ(8)+g(2)μ(4)+g(4)μ(2)+g(8)μ(1)
　　由于 g 是完全积性函数，因此不必考虑互质的情况，直接给 f(4) 乘 g(2) ，得到
　　 f(4)g(2)=g(2)μ(4)+g(4)μ(2)+g(8)μ(1)
　　离成功好像很接近了，还缺个 g(1)f(8) 这个怎么办？显然 f(8)=0 ，所以这一项等于0。因此乘上 g(2) 之后我们就得到 f(8) 了。
　　关于复杂度：显然只需要用到素数的快速幂，而素数的个数是 O(nlogn) 的，所以算法的复杂度是 O(N) 。
　　总的复杂度 O(N+TN−−√)

代码

//莫比乌斯反演
#include 
#include 
#define maxn 5000010
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
int x[maxn], K, prime[maxn], mark[maxn], tmp[maxn], f[maxn];
inline int fastpow(int a, int b, int p)
{
    int ans=1, t=a;
    for(;b;b>>=1,t=(ll)t*t%p)if(b&1)ans=(ll)ans*t%p;
    return ans;
}
void init()
{
    int i, j, t;
    f[1]=1;
    for(i=2;iif(!mark[i])
        {
            prime[++prime[0]]=i;
            tmp[i]=i;
            x[i]=fastpow(i,K,mod);
            f[i]=(x[i]-1+mod)%mod;
        }
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]*prime[j];
            mark[t]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                tmp[t]=tmp[i]*prime[j];
                if(tmp[t]!=t)f[t]=(ll)f[t/tmp[t]]*f[tmp[t]]%mod;
                else f[t]=(ll)f[i]*x[prime[j]]%mod;
                break;
            }
            f[t]=(ll)f[i]*f[prime[j]]%mod;
            tmp[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
    for(i=2;i1])%mod;
}
inline void calc(int n, int m)
{
    ll ans=0, lim=1e17;
    int i, last;
    if(n>m)swap(n,m);
    for(i=1;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(n/i)*(m/i)%mod*(f[last]-f[i-1])%mod;
        if(ans>lim)ans%=mod;
    }
    printf("%d\n",(int)(ans%mod+mod)%mod);
}
int main()
{
    int T, N, M;
    scanf("%d%d",&T,&K);
    for(init();T;T--)
    {
        scanf("%d%d",&N,&M);
        calc(N,M);
    }
    return 0;
}