【矩阵论】02——线性空间——基、维数与坐标

本系列文章由Titus_1996 原创，转载请注明出处。  

文章链接：https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/82835889

本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

---

基的定义

在线性空间V中，若存在n个元素

    α1，α2，......，αn

满足：

1. α1，α2，......，αn线性无关

2. V中任意元素α都可用α1，α2，......，αn线性表示。

那么，α1，α2，......，αn就称为线性空间的一组基，n称为线性空间V的维数。

 

其实线性空间的基，就是求V的极大无关组。其不是唯一的。因此，求基的步骤为：

1. 求一组线性无关的向量组

2. 证明此无关组是极大的，也就是可以线性表示V中任意一个元素。

---

定理

n维线性空间中，任意n个线性无关的向量构成的向量组，都是空间的基。

---

坐标的定义

在线性空间Vn(F)中，设{α1，α2，......，αn}是一组基，β为V中的一个元素，{α1，α2，......，αn，β}线性相关，故β可由α1，α2，......，αn唯一线性表示，因此有

则称数x1,x2,......,xn是β在基{α1，α2，......，αn}下的坐标

---

注意

• 不论Vn(F)为什么具体的线性空间，只要取定了一组基，Vn(F)中向量在该基下的坐标都是线性空间Fn中的向量。由于这一特点，可以用数量矩阵和Rn中的向量来研究一般的线性空间中有关问题的基础。

• 一般同一向量在不同基下的坐标是不同的。

---

同构（详细了解）

加法保持不变，数乘保持不变。

坐标关系建立了Vn(F)和Fn的一一对应关系σ。σ满足

由此，我们可以得出映射关系

（Vn,F,+,。）→（Fn,F,+,.）

线性空间→数域

 

数域F上，任意一个n维线性空间Vn(F)都和n维线性空间Fn同构。

 

这种同构关系给人们解决未知空间的问题提出了思想方法，可以利用已知的去推出未知。要做的事就是，人们期望的坐标确定了，是已知的，那么要取得什么样的坐标呢？这就要找到映射关系σ。有以下定理：

基于Vn(F)和Fn这种一一对应的关系保持线性关系不变，如果不计较向量的具体形式，仅就线性关系而言，Vn(F）中的问题就可以转到熟悉的方法和已经建立的理论来解决了。