线性代数-向量叉乘意义

这里我们要解释向量叉乘的本质意义
首先来了解下 行列式

这是由基向量$i$、$j$为边，形成的四边形区域，面积为S1 = 1

有一个矩阵m=$\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$, 将$i$缩放3倍，$j$缩放2倍，面积缩放了6倍

现在有一个矩阵 m = $\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right]$ ,原单位为1的面积经过变化后应该是什么？
由上图可以看出平行四边形面积：S = | $b$|*h
将向量b旋转90度后得到向量 $b_2$ = $(-y_2,x_2)$，这个很容易推导， $b_2$的单位向量为$\frac{b_2}{|b_2|}$
向量 $a$ 在 $b_2$上单位向量上的投影 h2 = $a$·$\frac{b_2}{|b_2|}$
所以S = | $b$|h = | $b$| $a$·$\frac{b_2}{|b_2|}$ = $a$· $b_2$ = $(x_1,y_1)\cdot (-y_2,x_2)$ = $x_1{y}_2-x_2{y}_1$
这个缩放值就是矩阵m的行列式，它是个标量，记为：$\det (m)=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|=x_1{y}_2-x_2{y}_1$

这个结果可能为负，遵守右手法则，这里表示为有向面积
接下来看三维向量
这是由三个基向量构成的立方体，体积为1

这是由$a,b,c$三个向量构成的平行六面体

参照二维向量，那三维向量的行列式表示对基向量构成体积为1的立方体的缩放
V = $\left|\begin{array}{ccc}{x}_a& x_b& x_c\\ y_a& y_b& y_c\\ z_a& z_b& z_c\end{array}\right|$

说了这么多，那向量叉乘跟这个有什么关系呢？

假设bc所在平面的单位法向量是 $n$

bc构成的平行四边形面积为S_bc
那么这个平行六面体的体积也可以表示为 V = S_bc * h = S_bc* $a\cdot n$
现在假设有一向量p = $kn$， p·a = |p|*$a\cdot n$
那么如果|p|刚好等于S_bc时，V = $p\cdot a$，那么这个p的坐标应该是什么呢？

$p\cdot a$ = $x_p{x}_a+y_p{y}_a+z_p{z}_a$
$\left|\begin{array}{ccc}{x}_a& x_b& x_c\\ y_a& y_b& y_c\\ z_a& z_b& z_c\end{array}\right|$ = $x_a$$\left|\begin{array}{cc}{y}_b& y_c\\ z_b& z_c\end{array}\right|$+$y_a$$\left|\begin{array}{cc}{x}_b& x_c\\ z_b& z_c\end{array}\right|$+$z_a$$\left|\begin{array}{cc}{x}_b& x_c\\ y_b& y_c\end{array}\right|$ = $x_a(y_b{z}_c-y_c{z}_b)$ + $y_a(x_b{z}_c-x_c{z}_b)$ + $z_a(x_b{y}_c-x_c{y}_b)$

得出：
$p_x=y_b{z}_c-y_c{z}_b$
$p_y=x_b{z}_c-x_c{z}_b$
$p_z=x_b{y}_c-x_c{y}_b$

a当做一个变量，随便a如何变化，a和p点乘的结果都等于a、b、c三个向量组成的行列式
这个向量p就是叉乘的结果，它的方向和大小等于bc构成平行四边形的有向面积

将上面的二维扩展到三维，同样适用

$\left|\begin{array}{cc}{x}_b& x_c\\ y_b& y_c\\ 0& 0\end{array}\right|$ = $x_b{y}_c-x_c{y}_b$, p向量为：(0,0,$x_b{y}_c-x_c{y}_b$)

总结：
a、b两个向量的叉乘，结果是一个向量p，该向量的长度是a、b围成的平行四边形有向面积的绝对值，方向遵守右手法则

任意一个向量 u， u·p = $\left|\begin{array}{ccc}u& a& b\end{array}\right|$