Gilbert Strang的线性代数课程笔记-第一课

目标是把笔记写得谁都能看懂 : )

首先我们需要了解，线性代数学科的基本目标是：解决线性系统的问题

第一课主要从两种角度来解释线性系统（横向与纵向：行图像Row Picture与列图像Column Picture）

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首先我们将方程组用矩阵的形式表达：

假设现在有方程组

将之写成矩阵形式为

【为什么可以这样表达？

若看不懂上式的话回顾矩阵的点乘：

矩阵点乘运算规则为：

设A为m x n的矩阵，B为n x p的矩阵，则A与B的乘积为矩阵C = AB

1. C的维度为m x p
2. C的第i行j列元素Cij由A的第i行元素与B的第j列元素对应相乘再相加所得

代入一下上面的实例：

A为2 x 2 的矩阵，B为2 x 1的矩阵，得到C为2 x 1的矩阵

C中的"0"在1行1列，由A的第一行元素[2, -1]与B的第一列元素[x, y]元素对应相乘所得：

2x – y = 0，即为第一个等式，第二个等式同理。

矩阵的其它运算：6.5 矩阵的运算及其运算规则】

通常，我们将上述例子简写为Ax = b

A为参数矩阵，x为变量矩阵，b为目标值

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下面从横向与纵向两个角度来解释这个方程组

1. 行图像（Row Picture）

行图像是指将方程组按行来理解，也就是我们传统的理解方式

即：找到两组关系的交集

我们认为2x - y = 0描绘了在x-y坐标轴上所有符合等式的点，-x + 2y = 3同理

解为两线交点：x = 1, y = 2

2. 列图像（Column Picture）

列图像是指将方程组按列来理解，以前我们几乎没有用这种方式来理解方程组

我们将式子竖着看并改写为：

x + y =

我们认为x个加上y个可以得到

即：找到一组列的线性组合来表达目标列

将它在坐标轴上可视化时，可以理解为x个向量加上y个向量可得到向量

（注意此时的坐标轴并非原来的x-y坐标轴，因为原x、y的意义变成了"组合方式"）

u向量为，v向量为，目标向量w为等式右边的向量

可知解为：1个u向量与2个v向量组合可以得到目标向量w，x = 1，y = 2

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同样的，在三维空间内我们也可以用行图像与列图像的角度来解释：

假设现在有方程组

将之写成Ax = b的形式：

参数矩阵A = ，b =

1. 按行图像理解，在三维坐标轴上可以画出三个平面：

三平面的交点即为解

2. 按列图像理解，在三维坐标轴上可以画出四个向量

 

OA为，OB为，OC为，OD为（OE与OC重合了无法展示）

本例中由于目标向量OD与其中一个向量OC重合，均为，且另外两个向量OA、OB与向量OC也没有线性组合关系，故最终解为0个OA向量+0个OB向量+1个OC向量=OD向量

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附：画图用的工具为：Calculator Suite - GeoGebra

Gilbert Strang的授课视频为（需科学上网）：

https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c&list=PL49CF3715CB9EF31D&index=1