指数分布

指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。除了用于泊松过程的分析，还有许多其他应用，如以下场景：

• 世界杯比赛中进球之间的时间间隔
• 超市客户中心接到顾客来电之间的时间间隔
• 流星雨发生的时间间隔
• 机器发生故障之间的时间间隔

• 癌症病人从确诊到死亡的时间间隔

  

指数分布有如下的适用条件：
1. x是两个事件发生之间的时间间隔，并且x>0;
2. 事件之间是相互独立的；
3. 事件发生的频率是稳定的；
4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

这几个条件实质上也是使用泊松分布的前提条件。如果满足上述条件，则x是一个指数随机变量，x的分布是一个指数分布。如果不满足上述条件，那么需要使用Weibull分布或者gamma分布。

指数分布只有一个参数，“λ”，λ是事件发生的频率，在不同的应用场景中可能有不同名称：

• 事件频率
• 到达频率
• 死亡率
• 故障率
• 转变率
• …………

λ是单元时间内事件发生的次数，这里需要注意的是，单元时间可以是秒，分，小时等不同的单位，同时λ根据单元时间度量的不同，其数值也不一样。如单元时间为1小时，lambda为6，则单元时间1分钟，λ为6/60=0.1。

指数分布的概率密度函数（probability density func,PDF）由λ和x(时间)构成：

f(x)=λe−λx

指数分布是可以从泊松分布推导出来的，这个以后再说。
显然这里x>0，因为时间为负没有现实意义，定义如果x<=0，则f(x)=0，e则是自然对数的底数。
我们来看一个实际例子：
一个设备出现多次故障的时间间隔记录如下：

23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95

根据上面数据，我们可以计算得到该设备发生故障的平均时间是59.6小时，即单位小时时间内发生故障事件的次数为λ=1/59.6=0.0168。
那么该设备在3天（72小时)内出现故障的概率是多大呢？即求P(x<72)，这就需要计算指数分布的累积分布函数：

P(X<72)=∫720λe−λxdx=1−e−λ(72)=1−e−0.0168∗72=0.7017

也即该设备3天内出现故障的概率大于70%。

再举个国足的例子，假设国足参加了2018年世界杯，国足面对世界强队比赛，平均5场比赛进一个球，即单位分钟时间内发生进球事件的次数为λ=1/（5*90）=0.002222。那么小组赛3场比赛，至少能进一个球的概率是多少？

3场小组赛，3*90分钟=270分钟。

P(X<270)=∫2700λe−λxdx=1−e−λ(270)=1−e−0.002222∗270=0.4512

也就是说3场小组赛一个球不进的概率是1-0.4512=54.88%