微分几何笔记(10) —— 纤维丛

本文大量参考 GTM20 Fibre Bundles $\text{[Hus94]}$ 一书前三章，目的是引入纤维丛的概念。这本书的主线还是相当清晰的，先给出最泛的丛的概念，再逐步的通过增加条件，来得到更具体的丛。

10.1 丛与截面

定义 10.1.1 丛 (Bundle)：是指一个三元组 $\xi =(E,p,B)$，其中 $p:E\to B$ 为一映射。其中 $E$ 称为 total space，$B$ 称为底空间 (base space)，$p$ 称为丛的投影映射 (projection). 对于任意 $b\in B,p^{-1}(b)$ 称为 $b$ 点处的纤维。

注意在这里我们只是形式的定义了丛，并没有强调 $E,B$ 的拓扑，从而也没有要求 $p$ 是连续甚至光滑映射，这是一个很泛的概念，但我们通过微分流形的学习，心中应该有相应的例子，比如乘积丛，流形的切丛等。

例子 10.1.2 底空间 $B$ 上以 $F$ 为纤维的乘积丛 $(B\times F,p,B)$ 就是丛的例子，这里映射 $$p:B\times F\to B,$$$$b\times F\mapsto b.$$

映射 $p$ 就是限制在 $B\times F$ 的第一个分量上的投影映射，这也是为什么在一般丛的定义中，$p$ 会被称为投影。

有了丛我们可以定义子丛：

定义 10.1.3 丛 $(E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })$ 为 $(E,p,B)$ 的子丛是指：$E^{\prime }\subset E,B^{\prime }\subset B$，并且 $p^{\prime }=p{|}_{E^{\prime }}:E^{\prime }\to B^{\prime }$.

接下来我们定义什么是截面：
定义 10.1.4 丛 $(E,p,B)$ 的一个截面是指一个映射 $s:B\to E$，使得 $ps=1_B$.

也就是说截面对 $B$ 中的每一点 $b$ 指定了某些 $b$ 点纤维中的元素。比如我们熟知的向量场，例如地球上的风形成的向量场，在每一点指定了该点切空间里的一个切向量，再比如微分流形中 Frobenius 定理里涉及到的 $k$ 维 distribution，就是在每点处给出一个切空间的 $k$ 维子空间的基底。

说到 Frobenius 定理，这里其实还有个好玩的问题，就是首先由毛球定理我们知道对于 $2n$ 维的球面，其上没有处处非零的向量场，也就意味着 $S^{2n}$ 没有 $1$ 维的 distribution，那么我们就自然会好奇，我们有没有办法判断对于怎样的流形，有着怎样维数的 distribution 呢？我在 MSE 上问了这个问题，得到的回答是对于某些特殊的维数，我们可以通过看流形的欧拉类是否消失来判断（不懂）：
distribution 的存在性

乘积丛，往往是我们最平凡的情况，对于乘积丛，截面也可以写成更简单的形式：

命题 10.1.5 乘积丛 $(B\times F,p,B)$ 的每一个截面的作用都可以直接写出：$s(b)=(b,f(b))$，其中 $f:B\to F$ 是被 $s$ 唯一决定的映射。

证明：
最后一句是显然的，因为 $s$ 就是我们在每一点处指定了纤维丛中的元素，也就是说唯一决定了 $f$. 假设 $s(b)=（s^{\prime }(b),f(b))$，那么 $ps(b)=s^{\prime }(b)=1_B$，所以 $s^{\prime }(b)=b$.

所以我们可以看到对于乘积丛，$s$ 和 $f:B\to F$ 之间的关系是一一对应的。

GTM20 这本书还好在他穿插着用范畴的语言讲了些内容，并且对于没有学过范畴的人也是可以接受的。

10.1.6 丛之间的态射 (bundle morphism)：记 $(E,p,B)$ 和 $(E‘,p’,B‘)$ 是两个丛，他们之间的态射定义为 $(u,f):(E,p,B)\to (E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })$，其中 $u:E^{\prime }\to E,f:B\to B^{\prime }$ 使得 $p^{\prime }u=fp$，也就是如下图表交换：

$$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{u}{\to }& E^{\prime }\\ \downarrow p& & \downarrow p^{\prime }\\ B& \stackrel{f}{\to }& B^{\prime }\end{array}$$

并且如果我们固定住底空间 $B$ 不变，也就是对于两个从 $(E,p,B)$ 和 $(E’,p‘,B’)$，满足 $p=p^{\prime }u$，也就是使得如下图表交换，我们称为 $B-\text{morphism}$.

$$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{u}{\to }& E^{\prime }\\ & \searrow p& \downarrow p^{\prime }\\ & & B\end{array}$$

更进一步，我们可以定义态射之间的复合，就是直观的沿着交换图继续走下去即可，对于两个丛之间的态射 $(u,f):(E,p,B)\to (E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })$ 和 $(u^{\prime },f^{\prime }):(E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })\to (E^{\prime \prime },p^{\prime \prime },B^{\prime \prime })$ 他们的复合就定义为 $(u^{\prime }u,f^{\prime }f):(E,p,B)\to (E^{\prime \prime },p^{\prime \prime },B^{\prime \prime })$：
$$\begin{array}{ccccc}E& \stackrel{u}{\to }& E^{\prime }& \stackrel{u^{\prime }}{\to }& E^{\prime \prime }\\ \downarrow p& & \downarrow p^{\prime }& & \downarrow p^{\prime \prime }\\ B& \stackrel{f}{\to }& B^{\prime }& \stackrel{f^{\prime }}{\to }& B^{\prime \prime }\end{array}$$

由此我们得到了所谓的丛范畴：

定义 10.1.7 丛范畴的对象记为 $\text{Bun}$，其对象为 $(E,p,B)$ 全体，态射以及态射的复合都如上定义。特别的，其中固定了底空间 $B$ 的丛之间构成了子范畴 ${\text{Bun}}_{\text{B}}$，其态射为全体 $B-\text{morphism}$.

其中 $(u,f):(E,p,B)\to (E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })$ 称为同构当且仅当存在同态 $(u^{\prime },f^{\prime }):(E^{\prime },p^{\prime },B^{\prime })\to (E,p,B)$，并且 $f^{\prime }f=1_B,f{f}^{\prime }=1_{B^{\prime }},u^{\prime }u=1_E,u{u}^{\prime }=1_{E^{\prime }}$.

有了丛之间的同构，我们可以对丛进行一些简单分类：

定义 10.1.8 空间 $F$ 称为丛 $(E,p,B)$ 的纤维是指对任意 $b\in B$，其纤维 $p^{-1}(b)$ 同胚于 $F$. 丛 $(E,p,B)$ 称为有平凡的 $F$ 纤维，是指他 $B-\text{morphism}$ 于乘积丛 $(B\times F,p,B)$.

具有整体平凡纤维的丛的例子不是常见的，比如 $S^1$ 的切丛是平凡的，但 $S^2$ 就没有整体平凡的切丛了，为此我们引出局部平凡这一概念：

定义 10.1.9 底空间均为 $B$ 的两个丛 $\xi$ 与 $\eta$ 称为局部同构，如果对任意 $b\in B$，存在 $b$ 的开邻域使得 $\xi {|}_U$ 和 $\eta {|}_U$ 是 $U-\text{morphism}$ 的。从而 $\xi$ 有局部平凡的纤维 $F$ 是指 $\xi$ 局部同构于乘积丛 $(B\times F,p,B)$.

更近一步，我们可以对两个丛之间定义乘积；通过映射 $f:B_1\to B$ 把 $(E,p,B)$ 通过 $f^{\ast }$ 拉回为底空间为 $B_1$ 的丛以及对截面进行延拓，这之中有不少技术细节，在此略去。

10.2 向量丛

之前讲的丛是最广泛的拓扑意义下的丛，并且书中并没有刻意强调其中的拓扑，在这章我们来看看更具体的向量丛。

定义 10.2.1 域 $F$ 上的 $k$ 维向量丛 $\xi$ 是指，对一般的丛 $(E,p,B)$ 的每个纤维 $p^{-1}(b)$ 都是 $F$ 上的 $k$ 维向量空间，并且满足局部平凡化的条件。

这里 $F$ 当然可以取不同的域，例如实数域 $\mathbb{R}$，复数域 $\mathbb{C}$，四元数域 $\mathbb{H}$.

这样定义的向量丛之间我们也可以定义态射，相比一般丛的态射，这里还要求 $u:p^{-1}(b)\to p^{-1}(f(b)),\forall b\in B$ 是线性的。这样得到的向量丛范畴记为 $\text{VB}$，类似的我们可以定义他的底空间均为 $B$ 的子范畴 ${\text{VB}}_{\text{B}}$. 由 $k$ 维向量丛构成的子范畴记为 ${\text{VB}}^k$.

之后的几节中，非常值得一提的是向量丛是某种拓扑不变量，具体是说：

定理 10.2.2 记 $f,g:B\to B^{\prime }$ 是两个同伦的映射，其中 $B$ 是仿紧的空间，若 $\xi$ 为 $B^{\prime }$ 上的向量丛，则他的拉回 $f^{\ast }(\xi )$ 与 $g^{\ast }(\xi )$ 是 $B-\text{isomorphic}$ 的。

证明请参考 $\text{[Hus94]}$ 的第三章第四节中定理 4.7.

至此我们基本做完了准备工作，可以看看到底什么是所谓纤维丛。

10.3 纤维丛

纤维丛和群作用是密切相关的，所以首先我们需要理解一些代数的概念。

定义 10.3.1 拓扑群 $G$ 是指一个具有拓扑结构的群，使得 $(s,t)\mapsto s{t}^{-1}$ 是 $G\times G\to G$ 的连续映射。

例如 $\mathbb{R}$ 视为加法群，或者 $\mathbb{R}-\{0\}$ 视为乘法群，或者可逆矩阵全体 $GL(n,\mathbb{R})$ 视为矩阵乘法群，他们都是拓扑群。

定义 10.3.2 对于拓扑群 $G$，我们可以定义右 $G$-空间 (right $G$-space) $X$，其群作用为 $X\times G\to X,(x,s)\mapsto xs$. 并且满足如下要求：
(1) 对任意 $x\in X,s,t\in G$，满足结合律 $x(st)=(xs)t$；
(2) 对任意 $x\in X$，满足 $x1=x$，这里 $1$ 是 $G$ 中的单位元。

这里我们定义的是 $G$ 右作用在 $X$ 上，事实上我们也可以定义左作用，为了满足结合律，需要将作用的元素换为逆元，所以左作用和右作用是一一对应的，因此我们只讨论右作用。

这里最直接的例子是 $GL(n,\mathbb{R})$ 右作用在 ${\mathbb{R}}^n$ 上；还有把 $\mathbb{R}-\{0\}$ 按标量乘法右作用在 ${\mathbb{R}}^n$ 上。

接下来我们考虑对右 $G$-空间的分类：
定义 10.3.3 两个右 $G$-空间 $X,Y$ 之间的映射称为 $G-\text{morphism}$ 如果对任意 $x\in X,s\in G$ 满足 $h(xs)=h(x)s$.

上述要求就是在说态射和群作用可交换，那么如果再复合态射，当然还是满足交换性的，因此所有的右 $G$-空间以及他们之间的 $G-\text{morphism}$ 构成一个 right $G$-space 范畴，记为 ${\text{sp}}_G$，其中 $\text{sp}$ 是指所有空间构成的范畴。

我们还可以在右 $G$-空间上定义等价类：$x,x^{\prime }\in X$，称他们为等价的如果存在 $s\in G$，使得 $xs=x^{\prime }$，更进一步，整个 $G$ 作用在某个给定的 $x$ 上，记作 $xG$ 为 $x$ 在群作用下的轨道。并且用 $X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$ 表示所有的轨道构成的集合，其上的拓扑为使得 $\pi :X\to X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G,x\mapsto xG$ 连续的最大拓扑。

这里的一个类似的理解就是把 $xs$ 的作用视为加法，整个群 $G$ 视为一个循环群 ${\mathbb{Z}}_p$，对 $x$ 加上任意整数倍的 $p$ 得到的 $x^{\prime }$ 与 $x$ 总是模 $p$ 同余的，当然循环群 ${\mathbb{Z}}_p$ 的拓扑是离散拓扑。

命题10.3.4 对任意 $G$-空间 $X$，映射 $x\mapsto xs$ 是同胚，并且 $\pi :X\to X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$ 是开映射。

证明：
其逆映射为 $x\mapsto x{s}^{-1}$，验证一下即知为同胚。记 $W\subset X$ 为开集，则 ${\pi }^{-1}\pi (W)={\bigcup }_{s\in G}Ws$ 是开集，由连续性得 $\pi (W)$ 为开集。

由此我们看到，任意 $G$-空间定义了一个丛 $\alpha (X)=(X,\pi ,X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G)$，对于 $G-\text{morphism}$ $h:X\to Y$ 我们可以定义商映射 $f:X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G\to Y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$，其中 $f(xG)=h(x)G$，由此我们有了他们之间的态射：$(h,f):\alpha (X)\to \alpha (Y)$.

定义 10.3.5 任意丛 $(X,p,B)$ 称为 $G$-bundle 如果有同胚映射 $f:X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G\to B$. 这样就有同构 $(1,f):(X,\pi ,X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G)\to (X,p,B)$.

事实上 $xs=x$ 我们不一定能够推出 $s=1$，例如之前举的循环群的例子，$s$ 可以是 $p$ 的任意倍数。因此我们需要引入自由 $G$-空间的概念：

定义 10.3.6
一个 $G$-space $X$ 被称为 free $G$-space，如果对任意 $x\in X,xs=x\Rightarrow s=1$.
对一个 free $G$-space $X$，我们再记 $X^{\ast }$ 为由所有形如 $(x,xs)\in X\times X$ 构成的集合，定义所谓转移函数 (translation function) $\tau :X^{\ast }\to G$，使得 $x\tau (x,x^{\prime })=x^{\prime },\forall (x,x^{\prime })\in X^{\ast }$.

根据定义我们可以验证转移函数的如下性质：
(1) $\tau (x,x)=1$;
(2) $\tau (x,x^{\prime })\tau (x^{\prime },x^{\prime \prime })=\tau (x,x^{\prime \prime })$;
(3) $\tau (x^{\prime },x)=\tau (x,x^{\prime }{)}^{-1},\forall x,x^{\prime },x^{\prime \prime }\in X$.

定义 10.3.7 一个 $G$-space $X$ 被称为 principal $G$-space，是指 $X$ 是 free $G$-space 并且转移函数 $\tau :X^{\ast }\to G$ 连续。一个 principal $G$-bundle 是指一个 $G$-bundle $(X,p,B)$，其中 $X$ 是 principal $G$-space 并且 $B$ 是同胚于 $X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$ 的。

我们之所以需要定义 principal $G$-bundle，是因为在这个条件下，我们能够得到他的纤维就是 $G$：
命题 10.3.8 记 $\xi =(X,p,B)$ 是 principal $G$-bundle，则 $\xi$ 在每一点处的纤维都是 $G$.

证明：
对任意 $x\in p^{-1}(b)$ 我们定义 $u:G\to p^{-1}(b)$，作用为 $u(s)=xs$，$u$ 的逆映射为 $x^{\prime }\mapsto \tau (x,x^{\prime })$，并且按定义要求是连续的，因此 $u$ 是同胚映射。

记 $\xi =(X,p,B)$ 是 principal $G$-bundle，$F$ 为一个left $G$-space，$X\times F$ 通过映射 $(x,y)s=(xs,s^{-1}y)$ 成为一个right $G$-space，记所有 $X\times F$ 在 $G$ 作用下轨道的集合，并且赋予商拓扑之后，为 $X_F=(X\times F)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}G$，并且定义 $p_F:X_F\to B$ 的作用为 $p_F((x,y)G)=p(x),\forall (x,y)\in X\times F$.

接下来总算可以定义一般意义下的纤维丛：
定义 10.3.9 丛 $\xi [F]=(X_F,p_F,B)$ 称为 $B$ 上的以 $F$ 为纤维的纤维丛，$\xi$ 称为主丛的伴随丛 (associated principal bundle)，群 $G$ 称为结构群 (structure group).

大概我要写的内容就到这里为止了，之后还可以继续进展的内容有纤维丛的截面，纤维丛的局部坐标表示，纤维丛的结构群 $G$ 的相关性质等等，内容十分丰富。

参考：
$\text{[Hus94]}$ Dale Husemoller. Fibre Bundles, 3rd edn. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 20. Springer-Verlag, New York, 1994.