扩展欧几里得算法

首先是裴蜀定理

对任意两个整数、，设是它们的最大公约数。那么关于未知数和的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

有整数解(x,y) 当且仅当m 是d 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。            

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　---By 维基百科

 

 

这可以当结论记着(主要是要会用),如果想知道更多可以去这里：

https://wc.yooooo.us/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F(这是维基百科)

还有就是算法导论的545页的定理31.2的证明(推荐先看这个)

 

 还有一个结论：

x = x0 + b/(a,b)*k  (k∈Z)

y = y0 - a/(a,b)*k  (k∈Z)

x0,y0为ax+by的任意一组解

这个结论告诉我们只要求出一组解就可以求出所有解，而且有无数个解。

 

接下来是扩展欧几里得算法

通过这个算法我们可以求得ax+by=gcd(a,b)的一组解

 

 

证明：设 a>b。

　　推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；//推理1

　　推理2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;//推理2

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

可以不看上面的证明，它想让我们知道的就是bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)的x2,y2,可以推出x1,y1的解(好像我只是复述了一下)

对于这个x2,y2有b'x3+(a' mod b')y3=gcd(b',a' mod b'),

对于这个x3,y3有.......

直到b = 0,x = 1,y = 0

然后往上递推

　

代码:

int exgcd(int a,int b,int & x,int & y){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b, a%b, x, y);
	int t = y;
	y = x - (a/b)*y;
	x = t;
	return r;
}

 短一点的代码：

int extgcd(int a,int b,int& x.int& y){
	int d = a;
	if (b != 0){
			d = extgcd(b,a % b,y,x);
			y -=(a/b)*x;
		}
	else  {
			x = 1;y = 0;
		}
	return d;
}

 

再短一点的代码：

1 void extgcd(int a,int b,int& x.int& y){ 2     if (b != 0){ 3             extgcd(b,a % b,y,x); 4             y -=(a/b)*x; 5  } 6     else { 7             x = 1;y = 0; 8  } 9 }

这短得都可以背了.......

 

 

最后是线性同余方程：

首先贴个百科，介绍一下什么是线性同余方程：

https://wc.yooooo.us/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B

根据百科所讲我们可以用扩展欧几里得算法求得r，然后求得特殊解，从而求出通解