扩展欧几里得算法---Extended Euclidean algorithm

概述

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的 最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个 公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的 公约数

假设d 是(b,a mod b)的 公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的 公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

扩展的：

用数学语言来表述：求整数x和y使得 ax+by=c.可以发现如果gcd(a,b) | c 不成立，也就是c不是a,b最大公约数的倍数，那么显然无整数解。

所以我们一般求ax+by=gcd(a,b),只要求得一对整数解 （x,y）那么任意的c(整除gcd(a,b))就可以得到，只要在两边同时乘以一个倍数即可。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int ext_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d=ext_gcd(b,a%b,y,x);
	y=y-(a/b)*x;			//  x=_y;
	return d;			//  y=_x-(a/b)*_y;
} 
int main()
{
	int x,y,a=99,b=78;
	cout<<ext_gcd(a,b,x,y)<<endl;
	cout<<x<<" "<<y<<endl;
}

说明：

假设我们已经得到了：

_d=gcd(b,a mod b) 和 _d=b*_x+(a mod b)*_y 的（_d,_x,_y）对于递归过程来说，有

d=gcd(a,b)=_d=gcd(b,a mod b),那么为了得到满足 d=ax+by的x和y，利用上述等式d=_d进行变形：

d=b*_x+(a-(a/b))*_y=a*_y+b(_x-(a/b)*_y)

当选择x=_y和y=_x-(a/b)*_y就可以满足等式。这样递归就可以进行下去，当然递归的终止条件是： b==0, return (a,1,0)