关于扩展欧几里德算法的几个问题

1. 从跳兽问题

问题描述：

有一只跳兽，每次跳的步数为m，在一个长为n的道路上来回跳。当接近一个端点，且余下的距离又不足一步时，先跳到该端点，再折回，其折回的距离是刚才未跳完的长度。跳兽从一端跳出，问能不能到达距离该端点1米的地方。

分析：

我们不妨将n的道路按照另一个端点对称一下，并且一直延伸下去

得到如下所示的一个道路：

可以发现：夹子的位置是2yn±1。而跳兽每次跳到的位置是mx

所以就得到一个方程式：mx+2ny=1

这样我们就可以用扩展欧几里德算法来判断有没有解：即gcd（2n，m)=1便能到达，否则无法到达。

2.Magic Horse

问题描述：

在一个相当大的棋盘上，有一只Magic Horse，每次能跳一个a×b大小的位置，问这只Magic Horse能走遍整个棋盘吗？

分析：

由于是无穷大的棋盘，肯定是不能用枚举法来做的。如果能够跳到旁边的格子，必然能够跳到所有的位置。

可以发现：从（0，0）出发，可以到以下八个位置：

(a,b) (a,-b) (-a,b) (-a,-b) (b,a) (b,-a) (-b,a) (-b,-a)

所以经过若干次跳动之后，所能到达的位置一定是：

dx=p1a+q1b

dy=p2a+q2b

所以只需要gcd(a,b)=1即可。

但是这只是一个条件，还有一个隐含条件。

从起点跳到相邻的一点，坐标之和的奇偶性一定发生了变化。如果a和b的奇偶性相同，那么不论怎么跳，坐标之后的奇偶性不会发生改变。所以a和b的奇偶性不同。

3. 邮票问题

问题描述：

给你两种面额的邮票A，B。问能否用A、B组成所有大于0的不同面额。如果可以，输出0。如果不能，输出有几种面额无法组合而得，如果无法组成的情况有无穷多种，输出"infinite"。

分析：

首先可以列出Ax+By=1的方程，如果gcd(A,B)!=1。那么对于1,1+A×B，1+2×A×B，……都无法表示为A，B的组合。

如果gcd(A,B)=1，那么又有多少种是无法组成的呢。

首先可以证明所有大于A×B的都可以表示出来。（证明比较复杂，有兴趣的可以参阅《ACM/ICPC程序设计与分析》，（沈云付））

其次是求出小于A×B的这些数当中，那些是不可以表示为A，B的组合的

可以用枚举法，一一枚举。这里给出一个公式 S=(A-1)×(B-1)/2 （证明过程略）