巴什博弈+威佐夫博弈+Nim博弈

巴什博弈

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。

很容易想到当n%(m+1)<>0时,先取必胜,第一次先拿走n%(m+1),以后每个回合到保持两人拿走的物品总和为m+1即可。

这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。

威佐夫博弈

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10).可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k.

那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k  (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

31.2.1   实例

PKU JudgeOnline, 1067, 取石子游戏.

31.2.2   问题描述

有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。

输入包含若干行,表示若干种石子的初始情况,其中每一行包含两个非负整数a和b,表示两堆石子的数目,a和b都不大于1,000,000,000。

输出对应也有若干行,每行包含一个数字1或0,如果最后你是胜者,则为1,反之,则为0。

31.2.3   输入

21

84

4 7

31.2.4   输出

0

1

0

31.2.5   程序

  1. #include<iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. int main()  
  4. {  
  5.      int k,n,m;  
  6.      doubler=0.6180339887,R=1/r;  
  7.      while(scanf("%d%d",&n,&m)+1)  
  8.      {  
  9.          if(n>m)  
  10.          {  
  11.               k=n;  
  12.               n=m;  
  13.               m=k;  
  14.          }  
  15.          k=n*r;  
  16.          if(n!=(int)(k*R))  
  17.               ++k;  
  18.          printf("%d\n",m!=(int)(k*R)+k);  
  19.      }  
  20.      return 0;  
  21. }  

31.3    Nim博弈

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

对于任何奇异局势(a,b,c),都有a^b^c=0。

非奇异局势(a,b,c)(a<b<c)转换为奇异局势,只需将c变为a^b,即从c中减去 c-(a^b)即可。

31.3.1   实例

PKU JudgeOnline, 2234, Matches Game.

31.3.2   问题描述

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

31.3.3   输入

245 45

3 3 6 9

1.3.4   输出

No

Yes

31.3.5   程序

  1. #include<iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. int main()  
  4. {  
  5.        inti,k,n;  
  6.        while(scanf("%d",&n)+1)  
  7.        {  
  8.               for(k=0;n--;)  
  9.               {  
  10.                      scanf("%d",&i);  
  11.                      k^=i;  
  12.               }  
  13.               if(k)  
  14.                      printf("Yes\n");  
  15.               else  
  16.                      printf("No\n");  
  17.        }  
  18.        return0;  
  19. }  

【Nim变形】Nim 游戏(取石子游戏)是一个著名的组合游戏,双方轮流从石堆中取走石子。本题中我们将考虑一个类似的游戏,我们称之为双 Nim(Dual Nim)游戏。游戏规则如下:

• 初始时有 N 堆石子,编号为 1 ∼ N。第 i 堆中有 ai 颗石子;• 双方玩家轮流操作。如果在一名玩家操作前,每堆中剩余石子数的按位异或的值为 0,则该玩家获胜;

• 玩家操作时必须选择一堆非空的石堆,并取走整堆石子。注意如果一堆石子都不剩了,那么玩家就已经获胜了。假设双方都按照最优策略进行操作,请判断哪方能获胜。

#include<stdio.h>
int main()
{
    int t,n,a[501],i,xxor=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        xxor=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            xxor=xxor^a[i];
        }
        if(xxor==0)
            printf("First\n");
        else{
            if(n%2==0)
                printf("First\n");
            else
                printf("Second\n");
        }
    }
    return 0;
}
 


原始博客链接http://blog.csdn.net/fsdev/article

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