只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
很容易想到当n%(m+1)<>0时,先取必胜,第一次先拿走n%(m+1),以后每个回合到保持两人拿走的物品总和为m+1即可。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10).可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k.
那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
PKU JudgeOnline, 1067, 取石子游戏.
有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。
输入包含若干行,表示若干种石子的初始情况,其中每一行包含两个非负整数a和b,表示两堆石子的数目,a和b都不大于1,000,000,000。
输出对应也有若干行,每行包含一个数字1或0,如果最后你是胜者,则为1,反之,则为0。
21
84
4 7
0
1
0
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
对于任何奇异局势(a,b,c),都有a^b^c=0。
非奇异局势(a,b,c)(a<b<c)转换为奇异局势,只需将c变为a^b,即从c中减去 c-(a^b)即可。
PKU JudgeOnline, 2234, Matches Game.
有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
245 45
3 3 6 9
No
Yes
【Nim变形】Nim 游戏(取石子游戏)是一个著名的组合游戏,双方轮流从石堆中取走石子。本题中我们将考虑一个类似的游戏,我们称之为双 Nim(Dual Nim)游戏。游戏规则如下:
• 初始时有 N 堆石子,编号为 1 ∼ N。第 i 堆中有 ai 颗石子;• 双方玩家轮流操作。如果在一名玩家操作前,每堆中剩余石子数的按位异或的值为 0,则该玩家获胜;
• 玩家操作时必须选择一堆非空的石堆,并取走整堆石子。注意如果一堆石子都不剩了,那么玩家就已经获胜了。假设双方都按照最优策略进行操作,请判断哪方能获胜。
#include<stdio.h> int main() { int t,n,a[501],i,xxor=0; scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d",&n); xxor=0; for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&a[i]); xxor=xxor^a[i]; } if(xxor==0) printf("First\n"); else{ if(n%2==0) printf("First\n"); else printf("Second\n"); } } return 0; }