在该节课程中主要是对前面几节课程的回顾，以及对列空间和零空间转置后得到的行空间和左零空间的介绍。首先由于三秩相等的存在，我们知道列空间和行空间的维数是一样的，都为r，行空间的基求法也可以通过行变得到阶梯矩阵，其行向量就是行空间的基。零空间的维数为n-r，左零空间的维数为m-r，m是转置后的自由变量的个数，即列数。而零空间的基可以通过行变得到，即自由变量令其为[0,0,1]得到。但是左零空间的基则需

x.1用Incidencematrix关联矩阵表示图矩阵将图的关系数学表达了出来，如下，x.2图的性质如果一个数据结构是图，则意味着其组成关联矩阵的向量组是线性相关的，如果数据结构是树则线性无关。通过对图的了解，我们可以类比物理中的电势和电流的关系，参见https://zhuanlan.zhihu.com/p/37193313。对于任意图，我们需要知道，点数目-边数目+回路数目=1。

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前言关系代数的出现，主要是源于对声明性语言与程序性语言的讨论，两边的代表分别是SQL和关系代数（RA）。SQL是一种声明性查询语言，它描述希望获得的元组集合，为了数据库中有效地实现查询，需要将SQL查询转换成过程性程序。关系代数（RA）是一种用于关系数据库的查询语言，它在用户界面中是不可见的，但是在SQL的核心起着重要作用，还提供了一个评估SQL的中间步骤。RA常用于关系型DBMS内部对SQL查询

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上节课讲了向量子空间中的列空间和零空间，这节课来讲零空间的(Specialsolutions)特解，也就是Ax=0的特解。在求解特解的核心便是使用消元法求得(rowechelonform)阶梯矩阵或者(reducedrowechelonform/RREF)最简矩阵。我们接下来举一个例子，例如我们拥有如下的方程组Ax=0，我们将求解所有的x，即对矩阵A进行求解，注意到A是三个方程/三个约束条件，四个

这节课的两个重点是columnspace列空间和nullspace零空间。x.1pre-multiply/leftmultiplyandpost-multiply/rightmultiply对于pre-multiply/leftmultiply左乘和post-multiply/rightmultiply右乘，如果用英文的pre-和post-是比较容易理解的，ABABAB的意思是：AAA左乘(于)B

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https://www.youtube.com/watch?v=K2zzvo28X0g&feature=youtu.be1.Matrix-VectorProducts矩阵和向量相乘，结果如下：从行的角度来看矩阵和向量相乘：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dotproduct,后面再介绍)的结果。从列的角度来看矩阵和向量相乘：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘

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矩阵做逆变换需要要反过来，如下，转置的逆等于逆的转置。在知道了上面的基础知识后，我们进行矩阵的分解，常见如LU分解和LDU分解，如下，在这里，我们首先具有一个矩阵A，我们对矩阵A进行基本行变换化简为阶梯矩阵或者行最简矩阵（主元为1），也就是将初等矩阵E左乘于A得到一个上三角矩阵U（UmeansUpper），然后我们将初等矩阵求逆后再放到右侧，即构成了L（LmeanLower下三角矩阵），这边构成了

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本文介绍一个学习线性代数的网站，该网站通过将线性代数中的数学规则可视化，更直观的展示线性代数的运算过程。该网站可以帮助我们更快更高效的学习线性代数。如果有考研的同学或者觉得学习线性代数很枯燥或者很困难的同学，可以了解该网站，促进高效学习和理解线性代数。网站链接：https://textbooks.math.gatech.edu/ila/教程链接：http://immersivemath.com/i

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