第四章二次剩余与方根Tips定义4.1（二次剩余）定义4.2（勒让德符号）定理4.1定理4.2(欧拉判别法则)定理4.3定理4.4(二次互反律)定义4.3定理4.5定理4.6定理4.7（二次互反律）定义

https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10182281http://blog.miskcoo.com/2014/08/quadratic-residue对于奇素数pmod  4=3p\mod4=3pmod4=3，n≡np+14(modp)\sqrtn\equivn^{\frac{p+1}4}\pmo

膜重复平方计算+欧拉判别条件#include#includeusingnamespacestd;intsquare(intx){returnx*x;}intfastMod(intx,intn,intm){if(n==0)return1;elseif(n%2==0)returnsquare(fastMod(x,n/2,m))%m;elsereturnx*fastMod(x,n-1,m)%m;}int

跳转到页内：欧拉判别法模平方剩余(二次剩余)定义  设ppp为奇素数，且(a,p)=1(a,p)=1(a,p)=1，如果二次同余式x2≡a(modp)x^2\equiva\(mod\p)x2≡a(modp

初等数论概念差不多了，还有个二次剩余、勒让德之类的没看，其余都看懂了，当然练题还有个长期的过程。最近抽的抽代，抽象代数，劲儿太大，老子忘光了，再往上讲不

目录二次剩余学习笔记二次剩余勒让德符号cipolla算法代码实现二次剩余学习笔记看SCOI2018的时候发现不会这个东西来写模板与简单证明p是奇质数，偶的就那一个，就不讨论了二次剩余求解\(x^2\equivn

目录数论复习|提高组数论算法汇总欧拉函数计算线性筛原理欧拉定理扩展欧拉定理逆元扩展欧几里得原根阶原根二次剩余斐波那契数列莫比乌斯反演BSGS卢卡斯定理中国剩余定理数论复习|提高组数论算法汇总欧拉函数计算

目录Rabin简介二次剩余定理欧拉准则Rabin的加密与解密1.简介Michael.O.Rabin是Rabin密码体制的创始人。

2019-ACM-ICPC-南昌区网络赛-H.TheNthItem-特征根法求通项公式+二次剩余+欧拉降幂【ProblemDescription】已知\(f(n)=3\cdotf(n-1)+2\cdotf

参考博客1：参考博客2参考博客3二次剩余形式：x2≡nmodpx^2\equivn\mod\px2≡nmodp，给定n，p，求解x？这里我们只谈论p为奇素数。

正题原根相关定义群：非空集合G上定义了一种二元运算，满足封闭性、结合律、单位元、逆元。环：非空集合R上定义了加法和乘法，在加法下构成交换群，满足乘法结合律、分配律。域：非零元素都可逆的满足交换律的环。（也就是交换幺环）循环群：指群可以由一个元素生成：G=x,x2,x3...。阶：满足xd=1的最小正整数d。记为ord(x)。xm=1当且仅当ord(x)|m。模素数p的剩余类构成一个有限域。模m意义

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二次剩余存在\(x^2\\%\p=n\)，如果存在这样的\(x\)那么，认为\((\dfrac{n}{p})\)有解。

思路来源https://blog.csdn.net/kele52he/article/details/78897187（二次剩余）https://blog.csdn.net/stevensonson/article

思路来源https://blog.csdn.net/kele52he/article/details/78897187（二次剩余）https://blog.csdn.net/stevensonson/article

学习了一下1个$\log$的二次剩余。然后来水一篇博客。

二次剩余求啥？要求解的东西是\[x^2\equivn(mod\p)\]其中\(p\)是一个奇质数。

若存在解则nnn称为ppp的二次剩余。首先将p=2p=2p=2的特殊情况判掉。下文ppp是奇质数。首先显然模奇质数ppp意义下会有恰好p−12\frac{p-1}22p−1个二次剩余。

欧拉准则对于质数ppp，x2≡a(modp)⇔ap−12≡1(modp)x^2\equiva\pmodp\Leftrightarrowa^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\pmodpx2≡a(modp)⇔a2p−1≡1(modp)。证明：充分性：ap−12=(x2)p−12=xp−1≡1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}=(x^2)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p

多项式  目前包含：多项式乘法+多项式求逆+多项式求ln+多项式求exp+多项式快速幂+多项式开根(求二次剩余的sqrt)…(跑得好慢啊QAQ)Code#pragmaGCCoptimize(3,"Ofast

算法来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Cipolla%27s_algorithm上代码：#include#include#include#include#definelllonglongusingnamespacestd

JacobisymbolConsideraprimenumberpandanintegera!≡0(modp).Thenaiscalledaquadraticresiduemodpifthereisanintegerxsuchthatx2≡a(modp),andaquadraticnonresidueotherwise.Lagrangeintroducedthefollowingnotation,

Miller-Rabin测试结合了费马小定理和二次剩余定理。费马小定理：ap−1=1ap−1=1

中的玄学数学知识先列个单子，from秦神数论模意义下的基本运算和欧拉定理筛素数和判定素数欧几里得算法及其扩展[finish]数论函数和莫比乌斯反演斐波那契数列及其性质卡特兰数（在组合）快速幂离散对数和大步小步二次剩余原根中国剩余定理

矩阵的每个元素是一个三元组，表示方案数这样转移的常数是9，然而数据好像只有小于等于40的…转移实际上是一个循环卷积的形式，考虑DFT那么就要找到三次单位根，我用的是−1−−3√2−1−−32，但是−3−3没有二次剩余扩域一下

两篇比较好的blog，第二篇介绍了一些拓展的东西http://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/51959546http://blog.miskcoo.com/2014/08/quadratic-residue因为个人数学不好，学这东西很多东西感性的理解就过掉了qaq，这里的笔记并不严谨以下讨论的是模数P为奇素数的情况先定义一个勒让德符号(ap)=

昨天训练的时候遇到一道题怎么也不会做，在网上搜了题解之后第一次听说了二次剩余，看了一天各种dalao的博客，在这里总结一下自己所理解的二次剩余及其用法。1，什么是二次剩余？2，二次剩余有什么用？

在学多项式求逆的时候顺便就推了一下多项式的开根，结果毫无疑问的要用到二c次剩余，顺路就学了一下，二次剩余给出n,Pn,Pn,P(P为奇质数)，如果存在一个aaa使得a2≡n(modP)a^2\equivn

今天研究了一下这块内容...首先是板子#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;#definepbpush_back#definempmake_pai

（二次剩余什么的我不会a）但是由此可以推广出类似fibnacci的数列，比如

简介Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具，一个脑洞大开的算法。认真看懂了，其实是一个很简单的算法，不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智。

Cipolla算是其中一个吧。貌似国内直接查名字还没有什么资料，查二次剩余的算法有ACdreamer简略的介绍。今天听讲时算是听懂了大半，回来又搞鼓了整个晚上才算完全弄明白。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3589；题意：就是一个裸的雅可比符号：具体参考：百度百科  百度百科代码如下：#include #include #include #include usingnamespacestd; inta[10]; intfac[100500],sum[100500]; intcnt; voidfen(intx

SegmentationandRecognitionUsingStructurefromMotionPointClouds,ECCV2008(pdf)Brostow,Shotton,Fauqueur,Cipolla

好多大神都说不会证明那个式子。。然后发现这个blog有讲http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/10182281

根据勒让德记号，我们有nP−12=±1，并且上述问题有解当且仅当nP−12=1设a，满足w=a2−n，w对于P不是二次剩余。这个a直接随机就好了。

即，对于奇素数p，和p的一个二次剩余n，求解x^2≡n(modp)这样的方程。“n是二次剩余”是什么意思呢？

space=1&num=1132题意：对于方程x*x=n(modp)是否有解，p是素数且与n互素思路：二次剩余版题。

首先利用二次剩余的知识，以及一些数列递推式子有下面的           至于怎么解出x^2==5(mod 10^9

其中有些基础代码可下载： Mubarak Shah at Univ. of Central Florida 有目标检测的相关内容： Roberto Cipolla at Cambridge

    /* * toj2991.c * * Created on: 2011-10-13 * Author: bjfuwangzhu */ /* 给出整数n，统计二次同余方程x^2=1(mod n)在[0,n)闭区间上的解的个数。 分析： 根据《简明数论》上的说明： 若p是素数，x^2=1(mod p^k)的解数有如下结

模素数p的原根g的优美体现在每个模p的非零数以g的幂次出现。所以，对任何数1 <= a < p，我们可选择幂  　　　　　　　　g,g^2,g^2,```````,g^(p-2),g^(p-1) 中恰好一个与a模p同余。相应的指数被称为以g为底的a模p的指标。假设p与g已给定，则记指标为I(a)。 以下以2模13的所有幂的形式： I　　　　　　　  

 模素数p的原根g的优美体现在每个模p的非零数以g的幂次出现。所以，对任何数1 <= a < p，我们可选择幂  　　　　　　　　g,g^2,g^2,```````,g^(p-2),g^(p-1) 中恰好一个与a模p同余。相应的指数被称为以g为底的a模p的指标。假设p与g已给定，则记指标为I(a)。 以下以2模13的所有幂的形式： I　　　　　　　 

*> 若此同余式有解，则n称为模m的二次剩余；若此同余式无解，则n称为模m的二次非剩余。 *> 设p是一

题目：http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1132   题意：就是给出方程，p为素数，求在区间内的解。   这个思路很简单，详见：http://algo.ftiasch.com/tag/number-theory/ 一开始TLE，原因是我用了二分加法，以后记住：二分加法是适合很大数的，比较小的数就直接乘，不

本题的注意点：n=p1*p2*p3......Pm 解法：直接利用公式a^((p-1)/2)=(a/p)mod p 即可求解。   #include<stdio.h> #include<math.h> int flag[1005],p[500],a; int d[100]; int init(int s) { int len=0,tmp,h=s

CoCoA2015-10-922:49ComputationalCommutativeAlgebrahttp://vdisk.weibo.com/s/Fst8dC2oag9yO?category_id=0&parents_ref=Fst8dC2oag9Ij计算交换代数2丁丹计算交换代数将要成为这个世纪应用到现实世界的最为重要的数学工具之一，随着当今计算技术的飞速发展，采用符号计算的方法处理工业尺度

*pn^an2.分别求p1^a1,p2^a2,...,pn^an的循环节，然后取最小公倍数至于怎么求对px^ax的循环节，这里用到了二次剩余2.1pmodpx^ax的循环节=G(px)*px^(a

//f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2); //f(1)=c,f(2)=d//可忽略 //求f(n)modp循环节长度 //c=a*a+4b是模p的二次剩余时，枚举n=p-1的因子 //否则枚举

三分钟学会简单二次剩余系列对于x^2=d(modp)。。（p为奇质数）的二次模方程，我们有这么几个性质：1、d^((p-1)/2)=1(modp) 当且仅当d为p的二次剩余（欧拉判别法。。