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《微积分：一元函数微分学》——泰勒公式

定理

(1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在，则对该邻域内的任意点 x ，有

\\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\\\\\varepsilon \in (x,x_{0})

 

(2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

设 f(x) 在点 x0 处 n 阶导数存在，则存在 x0 的一个邻域，对于该邻域中的任一个点，有

\\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

 

(注：x0=0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式)

 

重要函数的麦克劳林展开式

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdot\cdot\cdot+x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

(1+x)^{a}=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a(a-1)\cdot\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

 

 

 

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