泛函分析 第一章 1 绪论(4) 笔记

这个地方验证 ${\int }_{-1}^1{y}_n(x)y_m(x)dx=0$ 可以用分部积分搞，假设 $m<n$：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n\frac{d^m}{d{x}^m}(x^2-1{)}^{m}dx& ={\int }_{-1}^1\frac{d}{dx}\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}(x^2-1{)}^n\frac{d^m}{d{x}^m}(x^2-1{)}^{m}dx\\ & ={\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}(x^2-1{)}^n\frac{d^m}{d{x}^m}(x^2-1{)}^m|}_{-1}^1-{\int }_{-1}^1\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}(x^2-1{)}^n\frac{d^{m+1}}{d{x}^{m+1}}(x^2-1{)}^{m}dx\\ & =-{\int }_{-1}^1\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}(x^2-1{)}^n\frac{d^{m+1}}{d{x}^{m+1}}(x^2-1{)}^{m}dx\\ & =(-1{)}^n{\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^n\frac{d^{m+n}}{d{x}^{m+n}}(x^2-1{)}^{m}dx\end{array}$$

此时由于 $m<n$，因此 $\frac{d^{m+n}}{d{x}^{m+n}}(x^2-1{)}^m=0$ （因为被求导的多项式是 $2m$ 次的，求了 $m+n$ 次导之后是 $0$）

规律是零点越来越多了 ，特征函数有非常好的震动性。

微分比积分多一个条件才能交换，多要求了微分之后的级数一致收敛。

希尔伯特空间的共轭空间和共轭算子就是满足类似于 $(Ax,y)=(x,Ay)$