仿射变换和透视变换（射影变换）的关系和区别

标题仿射变换和透视变换（射影变换）的关系和区别

仿射变换和透视变换更直观的叫法可以叫做“平面变换”和“空间变换”或者“二维坐标变换”和“三维坐标变换”。如果这么命名的话，其实很显然，这俩是一回事，只不过一个是二维坐标(x,y)，一个是三维坐标(x,y,z)。也就是：
仿射变换：

透视变换：

从另一个角度也能说明三维变换和二维变换的意思，仿射变换的方程组有6个未知数，所以要求解就需要找到3组映射点，三个点刚好确定一个平面。透视变换的方程组有8个未知数，所以要求解就需要找到4组映射点，四个点就刚好确定了一个三维空间。

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仿射变换

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仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、缩放变换（尺度变换）、倾斜变换（也叫错切、剪切变换、偏移变换）、翻转变换。有六个自由度
仿射变换保持二维图形的“平直性”和“平行性”，但是角度会改变。

“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧

“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变

数学公式如下：

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透视变换（射影变换）

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射影变换：是最一般的线性变换。有8个自由度。

射影变换保持重合关系和交比不变。但不会保持平行性。

如下图所示：

数学公式如下：

刚性变换

这里先提一下一种很一般的变换，刚性变换。刚性变换：只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚性变换。

仿射变换和射影变换的区别

射影变换组成了一个群，这个群被称为射影变换群，n×n可逆实矩阵称为一般线性群GL(n)，当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群，记为PL(n)。在平面，射影变换为PL(3)。
射影变换在平面的变换矩阵形式如下，也就是一个3×3的矩阵。

其中当上面矩阵的最后一行为（0，0，1）时的变换就为仿射变换，在仿射的前提下，当左上角2×2矩阵正交时为欧式变换，左上角矩阵行列式为1时为定向欧式变换。所以射影变换包含仿射变换，而仿射变换包含欧式变换。
至此我们得到了射影变换和仿射变换的关系。
解析变换矩阵
我们将上面的矩阵分成几个部分，如下

其中大矩形中的4个元素组成的整体表示线性变换，比如scaling（尺度），shearing（剪切）和ratotion（旋转）；椭圆部分表示平移的参数，一个确定在x方向上的平移一个确定在y方向上的平移；小矩形部分用于产生透视变换。从这里所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。
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仿射变换的组成

仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、缩放变换（也叫尺度变换）、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）有六个自由度。
下面具体展示一下各个变换的变换矩阵的形式：

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仿射变换的特点

仿射变换保持二维图形的“平直性”和“平行性”，但是角度会改变。
“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧。
“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变。
它有6个自由度，即旋转4个，也就是前述大矩形的4个元素都可以同时改变，x方向平移，y方向平移。它能保持平行性，不能保持垂直性，Image中各部分变换前后面积比保持不变，共线线段或者平行线段的长度比保持不变，矢量的线性组合不变。

射影变换（projective transformation）

在这里需要明晰一下的是，透视变换(Perspective Transformation)也称作投影变换(Projective Transformation)、射影变换。
射影变换：是最一般的线性变换。有8个自由度。
射影变换保持重合关系和交比不变。但不会保持平行性。即它会使得仿射变换产生非线性效应。

其他的一些变换

在介绍了仿射变换之后其实我们就应该可以接受更多的变换，但限于本文的主旨是要辨析仿射变换和射影变换之间的关系，所以将该小节的东西放在最后。

等距变换

等距变换相当于是平移变换和旋转变换的复合，用R表示变换矩阵，即为

左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子，它有三个自由度，即旋转，x方向平移，y方向平移。等距变换前后长度，面积，线段之间的夹角都不变。
相似变换
相似变换相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合，用S表示变换矩阵，即为

左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子，它有4个自由度，即旋转，x方向平移，y方向平移和缩放因子s。相似变换前后长度比，夹角，虚圆点I,J保持不变。相似变换其实与相似三角形之间是有类似的。