数学小报1 海伦 - 秦九韶公式
数学小报1 海伦 - 秦九韶公式
0. 公式 & 前言
同学们好，我是初三（15）班的朱家炜，很高兴与大家以这种形式见面。那么第一篇文章我们从因式分解出发，探寻三角形面积的关系。我们今天要讲解的是：海伦 - 秦九韶公式
定义：三角形三边长度分别为 a , b , c a,b,c a,b,c，令 p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p=2a+b+c，则面积 S S S 为：
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} S=p(p−a)(p−b)(p−c)
1. 前言
在小学时学习三角形具有稳定性的时候，得知三条边长度确定时，所画出来的三角形是唯一的，引发思考：是否存在一个公式，给定三条边的长度求面积？便展开讨论。
2. 探索
这里默认 a < b < c a
令 p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p=2a+b+c
证明：作 △ A B C \triangle ABC △ABC ， C D ⊥ A B CD \perp AB CD⊥AB 于 D D D
设： C D = h , B D = x , A D = c − x CD=h,BD=x,AD=c-x CD=h,BD=x,AD=c−x
∴ a 2 − x 2 = b 2 − ( c − x ) 2 a 2 − x 2 = b 2 − c 2 − x 2 + 2 c x 2 c x = a 2 − b 2 + c 2 x = a 2 − b 2 + c 2 2 c \begin{aligned} \therefore a^2-x^2&=b^2-(c-x)^2 \\ a^2-x^2&=b^2-c^2-x^2+2cx \\ 2cx&=a^2-b^2+c^2 \\ x&=\frac{a^2-b^2+c^2}{2c} \end{aligned} ∴a2−x2a2−x22cxx=b2−(c−x)2=b2−c2−x2+2cx=a2−b2+c2=2ca2−b2+c2
∴ h 2 = a 2 − x 2 = ( a + x ) ( a − x ) = ( a + a 2 − b 2 + c 2 2 c ) ( a − a 2 − b 2 + c 2 2 c ) = 2 a c − b 2 + c 2 + a 2 2 c × b 2 − c 2 − a 2 + 2 a c 2 c = [ ( a 2 + c 2 + 2 a c ) − b 2 ] × [ b 2 − ( a 2 + c 2 − 2 a c ) ] 4 c 2 = ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) 4 c 2 \begin{aligned} \therefore h^2&=a^2-x^2 \\ &=(a+x)(a-x) \\ &=(a+\frac{a^2-b^2+c^2}{2c})(a-\frac{a^2-b^2+c^2}{2c}) \\ &=\frac{2ac-b^2+c^2+a^2}{2c} \times \frac{b^2-c^2-a^2+2ac}{2c} \\ &=\frac{[(a^2+c^2+2ac)-b^2] \times [b^2-(a^2+c^2-2ac)]}{4c^2} \\ &=\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4c^2} \end{aligned} ∴h2=a2−x2=(a+x)(a−x)=(a+2ca2−b2+c2)(a−2ca2−b2+c2)=2c2ac−b2+c2+a2×2cb2−c2−a2+2ac=4c2[(a2+c2+2ac)−b2]×[b2−(a2+c2−2ac)]=4c2(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
∴ S = c 2 h 2 4 = ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) 16 = a + b + c 2 × − a + b + c 2 × a − b + c 2 × a + b − c 2 = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) \begin{aligned} \therefore S&=\sqrt{\frac{c^2 h^2}{4}} \\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}} \\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2} \times \frac{-a+b+c}{2} \times \frac{a-b+c}{2} \times \frac{a+b-c}{2}} \\ &=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ \end{aligned} ∴S=4c2h2=16(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)=2a+b+c×2−a+b+c×2a−b+c×2a+b−c=p(p−a)(p−b)(p−c)
证毕
3. 补充
3.1：在八年级下册的P16有关于海伦-秦九韶公式的介绍，摘录如下：
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①（即海伦公式）和它的证明。
我国南宋数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：
② 1 4 [ a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 2 ) 2 ] \sqrt{\frac{1}{4}[a^2 b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]} 41[a2b2−(2a2+b2−c2)2]
这两个式子实质上是一样的，所以我们也称①②为海伦-秦九韶公式。
3.2：发展简史
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。[1]
这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量论》中给出证明。
中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。[2]
[1] 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书 数学 八年级 下册[M]北京:人民教育出版社，2013:16
[2] 百度百科：海伦公式 2021年12月13日https://baike.baidu.com/item/海伦公式/106956