欧拉函数

欧拉函数
欧拉函数φ(n)表示的是比n小并且和n互素的正整数的个数（1也包括）。

P为素数

φ(P) = P - 1，这里由于P是素数，所有比P小的数都和P互素

P和Q为两个互质的正整数

φ(P*Q) = φ(P) * φ(Q)（对于任意的两个素数来说如果φ(P*Q) =φ(P) * φ(Q)则为积性函数，如果对于任意两个正数来说φ(P * Q) =φ(P) * φ(Q)则为完全积性函数，欧拉函数为积性函数）

证明：φ(P * Q) = (P * Q - 1) - (P - 1) - (Q - 1) = P * Q - P - Q + 1 = (P - 1) * (Q - 1) =φ(P) * φ(Q)

注：小于P * Q的所有数中有(P - 1)个Q的倍数，有(Q - 1)个P的倍数。

P为素数，P^K

φ(P^K) = P^K - P^(K - 1)

对于任意数的欧拉函数公式

φ(P) = P(1 - 1 / a1) * (1 - 1 / a2).......*(1 - 1 / an) ai为P的质因数

证明：φ(P) = φ(a1^k1 * a2^k2......*an^kn) = φ(a1^k1) *φ(a2^k2).......*φ(an^kn) = (a1^k1 - a1^(k1 - 1))*(a2^k2 - a2^(k2 - 1)).......*(an^kn - an^(kn - 1)) = (a1^k1 * a2^k2......*an^kn) * (1 - 1 / a1) * (1 - 1 / a2).......*(1 - 1 / an) = P(1 - 1 / a1) * (1 - 1 / a2).......*(1 - 1 / an)