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组合数取模

Cnmmodmo

mo=p1^k1p2^k2….
n,m<=10^9,pi^ki<=10001

首先,我们把 mo 分解质因数,写成 pk11pk22...pkrr 的形式。
然后,我们只需要算出 Cnmmodpkii 的值,然后用中国剩余定理组合起来就行了。

中国剩余定理

同余方程组 Xaimod(mi) 在模 M=ni=1mi 的意义下有唯一解。
Mi=M/mi,ti=M1imodmi

X=i=1naiMitimodM

(不要问为什么)

继续

Cnm=m!n!(mn)!

如果我们能把 x! 表示成 apb 次方的形式的话,那么就可以直接用分式上下相除而得到,因为a和p互质。
那么我们看一看,把1~x中与p的倍数提出来,这样的数有 xp 个,也就得到了 pxp ,剩下的数就变成了1~ xp ,递归计算就可以了。
剩下的东西,我们把它分组为1~ pk1 pk+1 ~ 2pk1 ….可以证明每一组中的数的乘积都相等(在模 pk 的意义下),由于 pk 不会太大,预处理出然后快速幂就好了。剩下一段也是预处理的。
然后就可以解决了。

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