[置顶] 组合数取模

组合数取模

求

Cnmmodmo

mo=p1^k1p2^k2….
n,m<=10^9,pi^ki<=10001

首先，我们把 mo 分解质因数，写成 pk11pk22...pkrr 的形式。
然后，我们只需要算出 Cnmmodpkii 的值，然后用中国剩余定理组合起来就行了。

中国剩余定理

同余方程组 X≡aimod(mi) 在模 M=∏ni=1mi 的意义下有唯一解。
设 Mi=M/mi,ti=M−1imodmi
则

X=∑i=1naiMitimodM

（不要问为什么）

继续

Cnm=m!n!(m−n)!

如果我们能把 x! 表示成 a∗pb 次方的形式的话，那么就可以直接用分式上下相除而得到，因为a和p互质。
那么我们看一看，把1~x中与p的倍数提出来，这样的数有 ⌊xp⌋ 个，也就得到了 p⌊xp⌋ ，剩下的数就变成了1~ ⌊xp⌋ ，递归计算就可以了。
剩下的东西，我们把它分组为1~ pk−1 ， pk+1 ~ 2∗pk−1 ….可以证明每一组中的数的乘积都相等（在模 pk 的意义下），由于 pk 不会太大，预处理出然后快速幂就好了。剩下一段也是预处理的。
然后就可以解决了。