行列式公式和代数余子式

前一篇介绍了行列式（determinant）的10个性质，且简单阐述了如何用消元法求行列式。今天简单介绍求解行列式的2个一般公式，先看第一个公式，以最简单的2*2矩阵为例，对行列式的求法如下：

整个求解思想就是尽量将矩阵化为对角矩阵，每次取一行，逐渐化简矩阵，在化简过程中，有很多矩阵出现零行或零列，行列式变为0，我们用上述方法对3*3矩阵计算行列式，去掉那些行列式为0的项，得到

从上面的两个例子我们可看出在化简过程中行列式不为0的那些项有一定的特点：它们每行及每列上均有一个元素，因为如果某行或某列上没有元素，就会得到全0，且被保留下的这些行列式非零项的个数也是有规律的，以3*3矩阵为例，第一行有3种可能性，第二行有2种可能性，因为第2行的元素要避开第一行已确定元素的行和列，第3行有1种可能性，因此非零行列式的个数为6。这种方法下行列式的公式可概括为：   ，这个式子表示一共有n!项相加，每一项里面取第1行的，第2行的 ，以此类推，   是1…n的线性组合。

接下来介绍行列式的第2个公式，即用代数余子式（cofactors）表示的公式，某个元素 的代数余子式为Cij=(-1)^i+j det(去掉i行j列之后的n-1矩阵)。因此用代数余子式表示行列式的思想就是将原行列式不断分解为小的代数余子式，直至分解到一阶为止。