【概率】BZOJ4008 [HNOI2015]亚瑟王
【题目】
BZOJ
有 n n n张牌，每张牌有发动概率 p i p_i pi和伤害值 d i d_i di。进行 r r r轮游戏，每轮游戏按编号顺序考虑每一张未发动过的牌以 p i p_i pi概率发动，若发动成功或当前为最后一张牌则进入下一轮，求总伤害的期望。 T T T组数据。 T ≤ 444 , n ≤ 220 , r ≤ 132 , d i ≤ 1000 T\leq 444,n\leq 220,r\leq 132,d_i\leq 1000 T≤444,n≤220,r≤132,di≤1000
【解题思路】
不妨采用期望的定义来计算答案。
如果一轮一轮算显然不太好算。观察到一张牌是否有贡献仅和它以及它前面的牌有关，不妨考虑这样一个状态 f i , j f_{i,j} fi,j表示到第 i i i张牌，一共使用过 j j j张牌的概率。
考虑转移，则第 i i i张牌有发动与不发动两种情况。
- 发动，则前 i − 1 i-1 i−1张牌有 j − 1 j-1 j−1张牌发动，对于第 i i i张牌，在 r r r轮中有 j − 1 j-1 j−1轮一定不会再发动，因此 f i , j + = ( 1 − ( 1 − p i ) r − j + 1 ) f i − 1 , j − 1 f_{i,j}+=(1-(1-p_i)^{r-j+1})f_{i-1,j-1} fi,j+=(1−(1−pi)r−j+1)fi−1,j−1
- 不发动，则前 i − 1 i-1 i−1张牌有 j j j张牌发动，对于第 i i i张牌，再 r r r轮中有 j j j轮一定不会再发动，因此 f i , j + = ( 1 − p i ) r − j f i − 1 , j f_{i,j}+=(1-p_i)^{r-j}f_{i-1,j} fi,j+=(1−pi)r−jfi−1,j
上面这个发动的柿子好像有点奇怪，实际上是因为这张牌可以在前 j j j轮的任意一轮发动，就是 ( p i + p i ( 1 − p i ) + p i ( 1 − p i ) 2 + ⋯ + p i ( 1 − p i ) j ) f i − 1 , j − 1 (p_i+p_i(1-p_i)+p_i(1-p_i)^2+\cdots +p_i(1-p_i)^j)f_{i-1,j-1} (pi+pi(1−pi)+pi(1−pi)2+⋯+pi(1−pi)j)fi−1,j−1，然后用个等比数列就和就行了。
好像还是很奇怪？感觉这个概率有点问题？
感性理解一下应该是：如果我用了很多次，只有我第一次用的算数，后面拿的不算。这样当我转移的时候，就只算了最开始用了一个，后面用的和不用的概率之和等于 1 1 1，在我考虑转移到达的下一个时就可以绑在一起考虑，比拟成第 i i i张牌已经被移除了。
那么一张牌发动的概率就是 g i = ∑ j = 0 min ( i − 1 , r ) ( 1 − ( 1 − p i ) r − j ) f i − 1 , j g_i=\sum_{j=0}^{\min (i-1,r) }(1-(1-p_i)^{r-j})f_{i-1,j} gi=∑j=0min(i−1,r)(1−(1−pi)r−j)fi−1,j
复杂度 O ( T n r log n ) O(Tnr\log n) O(Tnrlogn)， log n \log n logn来自懒人的快速幂。
【参考代码】
#include