置换群

参考的资源：
oiwiki-置换群
置换群快速幂运算+研究与探讨-潘振浩
建议至少先把OIWIKI的基础内容看了

置换的概念

按照oiwiki的说法，置换是一种有限集合到自身的双射。如果不懂，可以粗略的理解为以是一种数组下标到下标的映射。

置换的表示

1. $p_1,p_2,p_3...p_n$其中$p_i$为下标，这种表示的意思是把原本第$i$个位置的数换成原本的第$p_i$位置的数
2. $f=\left(\begin{array}{c}{a}_1,a_2,...a_n\\ a_{p_1},a_{p_2}...a_{p_n}\end{array}\right)$这种表示更为直观，即把上面的集合映射成下面的集合
3. $(k_1,k_2,k_3...k_n)$这种表示意味着左边元素所在的位置会被右边所替代，即构成了一个轮换，而一个置换可以由若干个轮换组成(下面解释轮换)。

轮换

举个例子：

这是一个第二个形式表示出的置换，现在需要找出他的轮换。

先从上方第一个元素，每次上方的元素把箭头指向下，然后下方的元素把箭头指向和自己相同的数字的上方的元素，一直到指回出发点，一个轮换就被找出来了，按照指的顺序依次写出不重复的数字： (1,3,2)那么第一个轮换就被找出来了。

右边的轮换也同样如此可以找出：(4,7,6,5)
那么这一个置换就被分解完了，由两个轮换 (1,3,2)和(4,7,6,5)组成，而每个轮换的元素数目可以叫做轮换的长度。

整数幂运算

对于一个置换$T$，$T^2$即$T$对自身置换一次，即$T\ast T$，那么$T^k$也同理(如果不懂就可以去看OIWIKI的置换乘法)
如果一个置换$T$仅有单个长度为$L$轮换构成，那么$T^L=e$(e是一种特殊的置换，即自身到自身的映射(也就是啥也不变))

整数幂运算的结论

1. 设一个只有一个长度为$L$轮换构成的置换$T$，那么$T^k$一定会分裂成由$gcd(k,L)$个轮换构成的置换，且每个轮换长度为$L/gcd(k,L)$，每个轮换分别由原本数组的下标模$gcd(k,L)$的相同值元素构成。
2. 特别的当$gcd(K,L)=1$时，置换不会分裂
   (具体的过程可以看潘振浩的论文)

幂和轮换长度互质时的结论

由于轮换长度并不会变即仍为L，所以$T^k$仍然在轮换的长度上等于之前的长度。设$T=a,T^k=b$ 则有$b[i]=a[i\ast k\%L](其中i为a中元素的下标)$