相似矩阵和若尔当形

相似矩阵的定义：A和B都是n*n矩阵，若存在某个可逆矩阵M使得B=M^-1AM，则A和B是相似矩阵。在http://blog.csdn.net/xdfyoga1/article/details/37996291中曾经介绍过矩阵A可对角化为的形式（只有当A存在n个无关特征向量时才可对角化），假设现在A有n个无关的特征向量，也就是存在特征向量矩阵S，则对上面的对角化形式变形可得 ，根据矩阵相似性的定义可知矩阵A相似于对角阵， 当把S换成另一个M就可得另一个B，而B也与A相似，因此选取不同的可逆阵M，可得到众多A的相似阵，当然在这些相似阵中，对角阵 是最好的，因为它是这一类矩阵里最简洁的。

相似矩阵到底相似在哪里？

我们可以先举个例子，假设A= ，根据特征值之积等于行列式3（行列式为2*2-1*1=3），特征值之和等于迹4（迹=2+2），因此矩阵A的特征值分别是3和1，所以其对角阵 ，现在随便构造A的一个相似阵B，假如使  ，则 ，得到，AB互为相似阵，仔细观察可发现：A和B具有相同的特征值，即相似矩阵具有相同的特征值，为什么会这样？以下给出证明：

从 着手，由于B=M^-1AM，则可在 两边同乘相同的数来凑成B的形式，化简过程为： ，这个式子表明，A的特征值 同时也是B的特征值，但是注意A和B的特征向量并不相等，B的特征向量等于M^-1乘以A的特征向量x，到此就证明完毕，相似矩阵具有相同的特征值。

上面给的都是特征值没有重复值的情况，如果特征值有重复呢？此时的特征向量可能不再是线性无关的，矩阵可能无法对角化，这种情况需深入讨论，假设某一类2阶阵的特征值为 ，比如矩阵：，虽然特征值相同，但这两个矩阵却不能归为相似，也就是说这两个矩阵不能归为同一类，只能单独成一类，而 和其他所有特征值为4,4的矩阵是一类，因为对于任意M，，也就是说 与任何矩阵都构不成相似阵，所以要将其单独考虑；另一类里包括所有特征值为4,4的矩阵，在这些矩阵中， 是最好的，最接近对角化形式，但又不完全是对角化形式，该形式称为若尔当标准型（Jordan form），因为在这一类里所有矩阵都是相似的，因此其他矩阵都可以用 来表示，这就为先前那些无法进行对角化的矩阵提供了一种对角化方法，只不过这种对角化不是标准的对角化，而只是一种近似的，因为 不是严格的对角阵，但实际情况是一般矩阵很难化简为若尔当标准型，因为这依赖于特征值严格相等，必须确定所有的特征值，还需要确定矩阵的秩，假如矩阵的元素稍有偏差，特征值将不可避免的改变，秩也不可避免改变，因此数值计算上很不方便，但我们需要理解这个概念。