相似矩阵和若尔当形

相似矩阵的定义:A和B都是n*n矩阵,若存在某个可逆矩阵M使得B=M-1AM,则A和B是相似矩阵。在http://blog.csdn.net/xdfyoga1/article/details/37996291中曾经介绍过矩阵A可对角化为的形式(只有当A存在n个无关特征向量时才可对角化),假设现在A有n个无关的特征向量,也就是存在特征向量矩阵S,则对上面的对角化形式变形可得 ,根据矩阵相似性的定义可知矩阵A相似于对角阵, 当把S换成另一个M就可得另一个B,而B也与A相似,因此选取不同的可逆阵M,可得到众多A的相似阵,当然在这些相似阵中,对角阵 是最好的,因为它是这一类矩阵里最简洁的。

相似矩阵到底相似在哪里?

我们可以先举个例子,假设A= ,根据特征值之积等于行列式3(行列式为2*2-1*1=3),特征值之和等于迹4(迹=2+2),因此矩阵A的特征值分别是3和1,所以其对角阵 ,现在随便构造A的一个相似阵B,假如使  ,则 ,得到,AB互为相似阵,仔细观察可发现:A和B具有相同的特征值,即相似矩阵具有相同的特征值,为什么会这样?以下给出证明:

着手,由于B=M-1AM,则可在 两边同乘相同的数来凑成B的形式,化简过程为: ,这个式子表明,A的特征值 同时也是B的特征值,但是注意A和B的特征向量并不相等,B的特征向量等于M-1乘以A的特征向量x,到此就证明完毕,相似矩阵具有相同的特征值。

上面给的都是特征值没有重复值的情况,如果特征值有重复呢?此时的特征向量可能不再是线性无关的,矩阵可能无法对角化,这种情况需深入讨论,假设某一类2阶阵的特征值为 ,比如矩阵:,虽然特征值相同,但这两个矩阵却不能归为相似,也就是说这两个矩阵不能归为同一类,只能单独成一类,而 和其他所有特征值为4,4的矩阵是一类,因为对于任意M,,也就是说 与任何矩阵都构不成相似阵,所以要将其单独考虑;另一类里包括所有特征值为4,4的矩阵,在这些矩阵中, 是最好的,最接近对角化形式,但又不完全是对角化形式,该形式称为若尔当标准型(Jordan form),因为在这一类里所有矩阵都是相似的,因此其他矩阵都可以用 来表示,这就为先前那些无法进行对角化的矩阵提供了一种对角化方法,只不过这种对角化不是标准的对角化,而只是一种近似的,因为 不是严格的对角阵,但实际情况是一般矩阵很难化简为若尔当标准型,因为这依赖于特征值严格相等,必须确定所有的特征值,还需要确定矩阵的秩,假如矩阵的元素稍有偏差,特征值将不可避免的改变,秩也不可避免改变,因此数值计算上很不方便,但我们需要理解这个概念。

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