容斥原理&&莫比乌斯反演

【笔记】莫比乌斯反演-从入门到入土

上一篇：莫比乌斯反演（前置知识）文章目录莫比乌斯反演关于反演莫比乌斯函数定义性质莫比乌斯反演公式公式1公式2整除分块引入关于整除分块基础推导简单扩展莫比乌斯反演的应用例1：证明下式成立例2：YY的GCD
inferior_hjx·2023-03-15 07:29

【笔记】莫比乌斯反演（前置知识）

最近学了莫比乌斯反演和一点狄利克雷卷积，感觉很难，也是看了很多博客才有点明，写一篇博客帮助自己理解。由于数论大多基于正整数讨论，故除特殊说明外，本文所有变量都为
inferior_hjx·2023-03-15 07:59

必备知识总结

高斯消元；4．数据结构：STL（优先队列、map、multiset）、单调结构（队列、栈、滑动窗口）、并查集；5．动态规划：经典问题、树形dp、状压dp；6．数学：博弈（巴什、nim、斐波那契、威左夫）、容斥原理
DS_HY·2023-02-23 12:04

数学知识-容斥原理

题目链接：890.能被整除的数-AcWing题库解题思路1-n中能整除p的个数为n/p；二进制的巧妙转化。如题目的样例2，3。则答案为10/2+10/3-10/（2*3）=7；#includeusingnamespacestd;typedeflonglongll;intp[20];intmain(){intn,m;cin>>n>>m;for(inti=0;i>p[i];intres=0;for(i
忆旧、·2023-02-05 03:52

莫比乌斯反演经典例题（1）

链接：P2257YY的GCD-洛谷|计算机科学教育新生态(luogu.com.cn)题意：给定n,m，求∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==prime]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==prime]∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==prime]。题解：首先枚举质数可化为∑d∈primemin(n,m)∑i=1n/d∑j=1m/d[gcd(i
__LazyCat__·2023-02-04 15:04

省选数论总结

目录前言常见符号及其意义数论函数积性函数1.定义2.常见的积性函数3.利用线性筛预处理普通的积性函数欧拉函数莫比乌斯函数1.定义2.性质3.莫比乌斯函数的代码实现4.莫比乌斯函数与欧拉函数莫比乌斯反演1
Cafard_·2023-01-31 01:42

[洛谷 P6055] [RC-02] GCD (莫比乌斯反演 杜教筛)

题意求∑i=1n∑j=1n∑p=1⌊nj⌋∑q=1⌊nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}\sum_{q=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[\gcd(i,j)=1][\gcd(p,q)=1]i=1∑nj=1∑np=1∑⌊
凌乱之风·2023-01-14 13:57

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（莫比乌斯反演）

传送门式子好麻烦orz……大佬好腻害orz->这里1//minamoto2#include3#include4#definelllonglong5usingnamespacestd;6constintN=1e7+5,mod=20101009;7intn,m,vis[N],p[N],cnt,mu[N];llsum[N];8llans,inv2,summ;9voidinit(intlim){10mu[
???Sir·2023-01-12 16:09

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB(莫比乌斯反演)

题目背景提示：原P1829半数集问题已经迁移至P1028数的计算题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(LeastCommonMultiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a,b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格
Rki-dor·2023-01-12 16:39

[luogu1829][bzoj2154][国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB【莫比乌斯反演】

传送门：洛谷，bzoj题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(LeastCommonMultiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a,b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张NM的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i,j)。一个45的表格
weixin_30555125·2023-01-12 16:39

洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（莫比乌斯反演）

题意：求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$。开始开心（自闭）化简：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\fr
weixin_30458043·2023-01-12 16:08

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数莫比乌斯函数，定义如下：若d=1d=1d=1则μ(d)=1μ(d)=1μ(d)=1若d=p1p2…pkd=p_1p_2\dotsp_kd=p1p2…pk为互异素数，那么μ(d)=(−1)kμ(d)=(-1)^kμ(d)=(−1)k其它情况下μ(d)=0μ(d)=0μ(d)=0莫比乌斯函数的性质对于任意正整数nnn有：若n=1,∑d∣nμ(d)=1n=1,\sum\limits_{d|n
tanjunming2020·2023-01-12 16:07

洛谷 P1829 ：[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（莫比乌斯反演）

题解：假设n<mn<mnusingnamespacestd;constintmod=20101009;constintmaxn=1e7+10;boolispri[maxn];intpri[maxn],mu[maxn];typedeflonglongll;llsum[maxn];intn,m;voidsieve(intn){ispri[0]=ispri[1]=true;pri[0]=0;
ACM败犬·2023-01-12 16:06

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB （莫比乌斯反演+数论分块+线性筛）

洛谷P1829[国家集训队]Crash的数字表格/JZPTAB（莫比乌斯反演+数论分块+线性筛）题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1829题目大意：给定一组n
m0_52639539·2023-01-12 16:34

洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 莫比乌斯反演

题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(LeastCommonMultiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a,b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i,j)。一个4*5的表格如下：123452
Amber_lylovely·2023-01-12 16:03

洛谷 P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 莫比乌斯反演

P1829我又来推式子了（找虐了），假设n#definelllonglongusingnamespacestd;constintmaxn=1e7+5,mod=20101009;intvis[maxn],pri[maxn],mu[maxn],cnt;intg[maxn],sum[maxn];voidget_mu(intn){mu[1]=1;for(inti=2;im)swap(n,m);for(in
长沙橘子猫·2023-01-12 16:03

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

n,mn,mn,m，求∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)i=1∑nj=1∑mlcm(i,j)题解前置知识：莫比乌斯反演不妨设
tanjunming2020·2023-01-12 16:31

莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

莫比乌斯函数概念莫比乌斯函数的定义如下：若d=1d=1d=1，则μ(d)=1\mu(d)=1μ(d)=1若d=p1⋅p2⋯pk,pid=p_1\cdotp_2\cdotsp_k,p_id=p1⋅p2⋯pk,pi为互异质数，那么μ(d)=(−1)k\mu(d)=(-1)^kμ(d)=(−1)k。（注意，p互不相等，也就是说，一个数不能有多个相同的质因子）其他情况下μ(d)=0\mu(d)=0μ(d)
konjac_HZX·2023-01-10 17:57

NOI2021信息竞赛学习笔记

仙人掌问题（圆方树）2.矩阵树定理3.网络流4.基环树二、数据结构1.线段树2.左偏树3.树链剖分4.主席树5.树套树6.长链剖分7.LCT三、数学1.欧拉函数|（扩展）欧拉定理|欧拉反演2.线性筛3.莫比乌斯反演
andyc_03·2022-12-24 14:11

第十三课：容斥原理、简单博弈论

目录一、容斥原理例题二、简单博弈论（Nim）（1）Nim游戏习题：台阶Nim游戏（考虑构成胜败态的因素）（2）集合—Nim游戏mex运算sg函数必胜/败状态习题：拆分—Nim游戏一、容斥原理容斥原理高中基本有涉猎
yan__kai_·2022-12-22 09:08

叉乘点乘混合运算公式_职测解题技巧：数学运算的35个基础公式

但经济学方面、资料分析中利润率通常是利润÷营业收入）总利润=单件商品利润×数量容斥原理：两集合容斥原理：A+B-A∩B=总数-都不三集合容斥原理：A+B+C-（A∩B+B∩C+A∩C）
weixin_39592315·2022-11-29 19:18

牛客小白月赛5 A 无关(relationship) 【容斥原理】【数据范围处理】

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/135/A题目描述若一个集合A内所有的元素都不是正整数N的因数，则称N与集合A无关。给出一个含有k个元素的集合A={a1,a2,a3,...,ak}，求区间[L,R]内与A无关的正整数的个数。保证A内的元素都是素数。输入描述:输入数据共两行：第一行三个正整数L,R,k，意义如“题目描述”。第二行k个正整数，描述集合
aoxuan7259·2022-11-27 12:35

丑数 III（二分法、容斥原理）

1201.丑数III难度中等给你四个整数：n、a、b、c，请你设计一个算法来找出第n个丑数。丑数是可以被a或b或c整除的正整数。示例1：输入：n=3,a=2,b=3,c=5输出：4解释：丑数序列为2,3,4,5,6,8,9,10...其中第3个是4。示例2：输入：n=4,a=2,b=3,c=4输出：6解释：丑数序列为2,3,4,6,8,9,10,12...其中第4个是6。示例3：输入：n=5,a=
Miraclo_acc·2022-11-23 08:05

离散数学复习笔记（已完结）

目录前言数理逻辑命题逻辑基本概念命题等价命题蕴含对偶与范式推理理论谓词逻辑基本概念谓词演算的等价式与蕴含式谓词演算的推理推论集合论基本概念特殊运算运算性质包容排斥原理（容斥原理）序偶与笛卡尔积关系关系的基础概念关系的性质复合关系和逆关系闭包运算集合的划分等价关系与等价类相容关系序关系函数基本概念复合函数
Chiaki_0ff·2022-11-22 13:25

莫比乌斯反演

为了遇见灯下女孩：莫比乌斯简介：莫比乌斯证明：题目：（从牛客某题目上扒下来的题目）证明：莫比乌斯代码模板：以上是关于莫比乌斯反演的介绍，多练题，早掌握。
yumuluo·2022-11-12 15:47

Product of GCDs（莫比乌斯反演）（2021牛客暑期多校训练营2）

ProductofGCDs∏d=1nd∑[gcd⁡(s1d,s2d,…,skd)=1]∏d=1nd∑i=1ndμ(i)Cf[id]k\prod_{d=1}^{n}d^{\sum[\gcd(\frac{s_1}{d},\frac{s_2}{d},\dots,\frac{s_k}{d})=1]}\\\prod_{d=1}^{n}d^{\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}\mu
_lifehappy_·2022-11-12 15:17

牛客练习赛72 D-brz的函数 (莫比乌斯反演)

题目链接求∑i=1n∑j=1nμ(ij)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}μ(ij)∑i=1n∑j=1nμ(ij)推公式：由于积性函数的性质当gcd(i,j)==1gcd(i,j)==1gcd(i,j)==1的时候μ(ij)=μ(i)∗μ(j)μ(ij)=μ(i)*μ(j)μ(ij)=μ(i)∗μ(j)所以式子可以变成这样：∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)==1]μ(i
GCR-·2022-11-12 15:16

【读书笔记】莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

一、莫比乌斯(Möbius)函数对于每个正整数n(n≥2)，设它的质因数分解式为：根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为：也就是如果n有平方因子，则为0.否则是-1的质因数个数次方。举个简单的例子：6=2×3，所以；9=3×3，所以【命题一】对于正整数n有：也就是n>2时，所有n的约数对应函数值之和为0.证明：n=1的时候是显然的。n≥2时：①如果d中也含有平方因子，则其值为零。②设，若d中不含平方因
weixin_30955341·2022-11-12 15:15

洛谷P3327 莫比乌斯反演，约数函数结论

题意：给出n,mn,mn,m，计算∑i=1n∑j=1md(ij)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)i=1∑nj=1∑md(ij)其中d(x)d(x)d(x)是xxx的约数个数Solution：有一条结论d(ij)=∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]d(ij)=x∣i∑y∣j∑[gcd(
stdforces·2022-11-12 15:44

洛谷P2522 容斥原理+莫比乌斯反演

题意：给出a,b,c,d,ka,b,c,d,ka,b,c,d,k，计算∑i=ab∑j=cd[gcd(i,j)=k]\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=c}^{d}[gcd(i,j)=k]i=a∑bj=c∑d[gcd(i,j)=k]Solution：法一：设f(n,m)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]f(n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd
stdforces·2022-11-12 15:44

牛客练习赛76 F phi and phi（莫比乌斯反演）

牛客练习赛76Fphiandphi（莫比乌斯反演）题解：前置知识：前置知识：前置知识：∑i=1n∑j=1nϕ(ij)=∑i=1n∑j=1nϕ(i)ϕ(j)gcd(i,j)ϕ(gcd(i,j))\sum_
Ilnay·2022-11-12 15:13

牛客练习赛76 F - phi and phi（欧拉函数性质+莫比乌斯反演+差分）

传送门题目大意给定nnn，f(n)=∑i=1n∑j=1nφ(ij)φ(gcd(i,j))f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(ij)\varphi(gcd(i,j))f(n)=∑i=1n∑j=1nφ(ij)φ(gcd(i,j))，求出[1,n][1,n][1,n]每个数的fff值输出。解题思路这道题有三个难点，我挂在了第一个…第一步：问题简化首先式子里的φ(gc
Happig丶·2022-11-12 15:12

牛客练习赛40 E题 小D的Lemon 莫比乌斯反演

题目描述あの日の悲しみさえ那一天的悲伤也好あの日の苦しみさえ那一天的痛苦也好そのすべてを愛してたあなたとともに我深爱着和你在一起的点点滴滴胸に残り離れない残留在心中久久不离苦いレモンの匂い苦柠檬的香气雨が降り止むまでは帰れない雨停为止都无法回去切り分けた果実の片方の様に如同切开的果实的一面那样今でもあなたはわたしの光至今为止你依然是我的光米津玄师—《Lemon》题目描述旧日的美好已如昙花般绽放之后
Cwolf9·2022-11-12 15:42

小A的数学题 牛客（莫比乌斯反演）

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/549/J题意:思路:接着1的倍数的n*m2的倍数的n/2*m/23的倍数的n/3*m/3…所以d的倍数的，得减去2d,3d,4*d,…的结果，最后剩下的就是gcd(i,j)==d的结果了#include#definemod1000000007usingnamespacestd;typedeflonglongll;c
mizp·2022-11-12 15:42

牛客练习赛84 F.牛客推荐系统开发之下班（斐波那契数列+莫比乌斯反演）

牛客练习赛84F.牛客推荐系统开发之下班（斐波那契数列+莫比乌斯反演）传送门：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11174/F题目大意：这是我的一个学长出的题目。。
m0_52639539·2022-11-12 15:09

牛客练习赛76 F.phi and phi（莫比乌斯反演）

牛客练习赛76F.phiandphi（莫比乌斯反演）题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10845/F题目大意：给定一个正整数nnn，m∈[1,n],ans
m0_52639539·2022-11-12 15:39

牛客练习赛72 D - brz的函数 莫比乌斯反演

原题链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8282/D目录题意化简Code题意∑i=1n∑j=1nμ(ij)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mu(ij)i=1∑nj=1∑nμ(ij)化简=∑i=1n∑j=1nμ(i)μ(j)[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mu(i)\mu(j)[g
kaka0010·2022-11-12 15:09

牛客练习赛76 phi and phi 莫比乌斯反演+差分

原题链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10845/F目录题意化简Code题意ans(n)=∑i=1n∑j=1nϕ(ij)ϕ(gcd(i,j))ans(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(ij)\phi(gcd(i,j))ans(n)=i=1∑nj=1∑nϕ(ij)ϕ(gcd(i,j))化简先引入一个定理ϕ(ij)=ϕ(
kaka0010·2022-11-12 15:09

杜教筛【莫比乌斯前缀和，欧拉函数前缀和】推导与模板【一千五百字】

下图给出杜教筛详细推导过程，前置知识有积性函数和莫比乌斯反演。杜教筛是一种优秀的求积性函数前缀和算法，其时间复杂度受预处理数组的影响，一般开到2/3次幂大小，可使复杂度达到较为优秀的程度。
秦小咩·2022-11-12 15:08

[牛客挑战赛46E] 反演（莫比乌斯反演）

题意分析首先，根据σ0(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]\sigma_0(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[(x,y)==1]σ0(ij)=x∣i∑y∣j∑[(x,y)==1]，有F(m,n)=∑i=1n∑j∣m∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]=∑x=1n∑y∣m⌊nx⌋σ0(my)[(x,y)==1]=∑x=1n∑y∣m⌊nx⌋σ0(m
hipamp·2022-11-12 15:08

牛客挑战赛47 F-简单题 莫比乌斯反演

牛客挑战赛47F-简单题莫比乌斯反演题意思路Code(2512MS)传送门：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10743/F题意求解∑i=1n∑j=1mgcd(i,
狙击美佐·2022-11-12 15:08

牛客练习赛72 D-brz的函数 莫比乌斯反演 + 差分

牛客练习赛72D-brz的函数莫比乌斯反演+差分题意思路Code传送门：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8282/D题意求解∑i=1n∑j=1nμ(ij)求解\sum
狙击美佐·2022-11-12 15:38

牛客P21546 莫比乌斯反演+杜教筛

题意：给出n,k,l,rn,k,l,rn,k,l,r，从区间[l,r][l,r][l,r]内取出nnn个数，并且他们的最大公约数为kkk，有多少种取法？这nnn个数可以有相等的Solution：即计算∑a1=lr∑a2=lr...∑an=lr[gcd(a1,a2,...,an)=k]\sum_{a_{1}=l}^{r}\sum_{a_{2}=l}^{r}...\sum_{a_{n}=l}^{r}[
stdforces·2022-11-12 15:34

洛谷P2257 莫比乌斯反演+线性筛

题意：给出n,mn,mn,m，计算有多少i∈[1,n],j∈[1,m]i\in[1,n],j\in[1,m]i∈[1,n],j∈[1,m]，使得gcd(i,j)gcd(i,j)gcd(i,j)是一个素数Solution：不妨转化为枚举这个素数，找有多少对满足条件∑p∈prime∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=p]\sum_{p\inprime}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1
stdforces·2022-11-11 07:23

2021 ICPC 沈阳站 【L Perfect Matchings】 树上背包（树形dp）+容斥原理

2021ICPC沈阳题意：就是给你一个2∗n2*n2∗n个点的完全图，从这个图里面抽出2∗n−12*n-12∗n−1条边，这些边形成一颗树，现在问你剩下的图里面点进行完美匹配有多少种方案？完美匹配方案可以理解为，对于一个2∗n2*n2∗n个结点的图，找一个包含n条边的边集，由于每条边有两个端点，如果这个边集包含的点有2∗n2*n2∗n个，则是完全匹配（边集内任意两边没有公共端点）。分析：先求不删边
Akari Kitō·2022-10-30 03:18

算法基础课——第四章 数学知识（四）

第四章数学知识（四）如无特殊说明，所有数均为正整数.容斥原理例如下维恩图：维恩图图示如果想要求出左图三个圆覆盖的面积时，设黑边圆的面积为SkS_kSk，红边圆的面积为SrS_rSr，蓝边圆的面积为SbS_bSb
华北理工大学ACM协会·2022-10-14 10:28

[日常] 2. 组合数学

加法法则与乘法法则1.2排列与组合1.3模型转换1.4全排列的生成算法字典序法第2章母函数与递归关系2.1母函数概念2.2母函数定义2.3母函数的运算2.4母函数解决计数问题2.5母函数与递归关系第3章容斥原理
Cyanzzy·2022-10-12 22:35

793. 阶乘函数后 K 个零 : 经典「数学 + 二分」运用题

Tag:「数学」、「二分」、「容斥原理」f(x)是x!末尾是0的数量。回想一下x!=1*2*3*...*x，且0!=1。例如，f(3)=0，因为3!=6的末尾没有0；而f(11)=2，因为11!
·2022-08-28 14:52

容斥原理学习笔记

引入用一个简单的例子来引入容斥：这个例子可以说是非常经典，一共有三种活动${1,2,3}$。同时你可以查询$f(S)$会返回参加了$S$集合中活动的人的个数。现在的问题是求至少有多少个人参加了活动。我记得这个是班上高一上集合时的作业最后一题。看上去非常奇怪，但是可以发现如果根
Aonynation·2022-07-15 07:00

【综合笔试题】难度 2.5/5 :「树状数组」与「双树状数组优化」

Tag:「树状数组」、「容斥原理」n名士兵站成一排。每个士兵都有一个独一无二的评分rating。
·2022-06-21 11:49
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