对莫比乌斯反演常用技巧与性质的理解与部分证明寒假的时候雍老师就跟我们讲了，可惜当时是真的傻逼，雍老师讲的辣么详细都听不懂。。。考试全靠背公式，打暴力。

题目链接：BZOJ3994约数个数和题意：求∑ni=1∑mj=1d(i∗j),定义d(i)为i的约数个数.n,m∈[1,50000]分析：ans=∑gcd(i,j)=1⌊ni⌋⌊mj⌋=∑i=1n⌊ni⌋∑j=1m⌊mj⌋定义g(n)=∑ni=1⌊ni⌋=∑ni=1d(i),只需要预处理出g(n)就可以在O(n−−√)时间范围内解决问题。如果选择分步加速的话，预处理的复杂度是O(nn−−√),但是

题目大意：求∑ni=1∑mj=1d(ij)首先我们有一个很神的结论：∑ni=1∑mj=1d(ij)=∑ni=1∑mj=1⌊ni⌋⌊mj⌋[gcd(i,j)==1]这个结论是怎么来的呢？我们可以先证明这个：d(nm)=∑i|n∑j|m1∗1[gcd(i,j)==1]显然这个式子的前缀和就是上面的式子现在我们来证明这个式子是对的我们分开讨论每一个质数p对答案的贡献不妨设n=n′∗pk1,m=m′∗pk

在做题的时候遇到了莫比乌斯反演所以就想找个题目做做POJ3904题目大意：给出n以及n个数字找到四个互质的数有多少种即求gcd（a,b,c,d）=1的情况数可以用容斥原理找到四个数不互质的情况然后用总数减去这些情况就是互质的参考

之前一直觉得这是一个这辈子都学不到的东西，好像太厉害了根本不适合我，看来我以前（虽然现在也还是）太菜了对于一个算数函数f(x)如果我们对f（x）进行如下规定的求和F(n)=∑d|nf(d)其中d|n的含义为d可以整除n，例如对于n=12的情况F(12)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12)我们要思考的是，这种关系是否可以反着来，比如说用F的值来求f的值？那么我们现在可以进行

题目大意：设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求完全不会，听说是莫比乌斯反演，可约数个数怎么反演…然后蒟蒻就在网上翻大神的博客，发现约数的个数具有神奇的性质：∑ni=1∑mj=1d(ij)=∑ni=1

题目描述神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N,M,求1#include#definelllonglongusingnamespacestd;constintMaxn=10000005;llpri[Maxn/10],u[Maxn],mu[Maxn],sum[Maxn],k,t;boolvis[Maxn];inlinellmn(llx,lly){returnx'9'){c=getchar();

Description对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y)=k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。Input第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、kOutput共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数SampleInput22515115152SampleOutput143HINT100%

又有n,m互质，则显然有n+m|d原式可推为∑Nd=1∑⌊Nd⌋n=1∑⌊Nd⌋m=n+1e(gcd(n,m))[n+m|d][n+m|d]的个数显然为⌊Nm(n+m)⌋e(gcd(n,m))显然可以莫比乌斯反演所以进一步推为

题目传送门：https://www.luogu.org/problem/show?pid=3327题目分析：这题我又没有自己想出来……主要是本题要用到一个很神的结论：d(ij)=∑x|i∑y|j[(x,y)=1]这个是怎么推出来的呢？我们考虑质数p对d(ij)的贡献，假设i的质因数分解中有k个p，j的质因数分解中q个p，那么d(ij)中就会有因数k+q+1，而：k+q+1=∑x=0k∑y=0q[(

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257一年前留下的莫比乌斯反演的坑，竟发现一年后还是不懂（这不是废话嘛）！但是我觉得搞一搞还是可以的。

题目描述设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数，给定NNN、MMM，求∑i=1N∑j=1Md(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{M}_{j=1}d(ij)i=1∑Nj=1∑Md(ij)N,M,T<=50000N,M,T<=50000N,M,T#include#includeusingnamespacestd;constintMAXN=100001;namespaceM

题意设表示的约数个数,求组数据范围:题解这个题目的关键是化解,这里有个神奇的公式(第一次了解到我是懵逼的(′◔‸◔`))这个公式可以这么理解:如果对于的素因子分解为,那么,可以看出每个素因子作用是独立的假设x,y的素因子分解中的次数为分别为.对于的贡献为在中只考虑只当在中出现中不出现的种,中不出现中出现的种,都不出现的种,所以贡献为,等式成立那么原来要求的式子变为,这里可以看到可以转换为约数的贡献

容斥原理:已知,输入A,B,d,A内d的倍数有A/d个(设为aa),B内d的倍数有B/d个(设为bb)gcd(a1,b1)=d的有aa*bb,但是,这是需要去重的,如何去重呢,把上面的倍数次全减一遍.所以从min(a,b)到d,筛一遍,然后直接输出d的.#include#include#include#include#include#defineN1000000#definelllonglongu

本文仅介绍一些关于莫比乌斯反演的基础知识。声明本文中，若无特殊声明pa11⋅pa22⋅...⋅Pakkp1a1⋅p2a2⋅...

题意给定N,M,求1#include#includeusingnamespacestd;constintmaxn=10000005,N=10000000;intn,m,_test,mu[maxn],p[maxn],sum[maxn];longlongans;boolvis[maxn];voidget_mu(){memset(vis,1,sizeof(vis));mu[1]=1;for(inti=2

莫比乌斯反演的基本思想考虑求函数，我们可以构造一个比较好求函数g(x)使，然后用g(x)来求f(x)怎么用g(x)来表示f(x)呢？

1101:[POI2007]ZapTimeLimit:10SecMemoryLimit:162MBSubmit:2504Solved:1033[Submit][Status][Discuss]DescriptionFGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x#include#include#include#include#include#

题意给出b,d,k，求满足1≤x≤b，1≤y≤d，并且gcd(x,y)=k的数对(x,y)的对数。（(x,y)和(y,x)算作一种）思路等价求满足1≤x≤b/k，1≤y≤d/k，并且gcd(x,y)=1的数对(x,y)的对数设f(k)为gcd(x,y)=k的数对(x,y)的对数，要求f(1)设F(k)为k|gcd(x,y)的数对(x,y)的对数。根据莫比乌兹公式f(d)=∑d|eNμ(ed)F(e

这篇博客对莫比乌斯反演入门很有帮助http://blog.csdn.net/nexplain/article/details/18954219下面我所说的都基于上面这篇博客的内容。

题目描述神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N,M,求1usingnamespacestd;typedeflonglongll;constintmaxn=10000000+5;intT,N,M;//llans;intmu[maxn],f[maxn],sum[maxn];intprim[maxn],vis[maxn];voidinit(){mu[1]=1;//!!intcnt=0;for(in

学习中，先记下来关于莫比乌斯反演公式：题意：关于d(ij)的结论：至于为什么，推荐大佬博客->https://blog.csdn.net/ab_ever/article/details/76737617

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3327题目描述设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求∑i=1N∑j=1Md(ij)\sumN_{i=1}\sumM_{j=1}d(ij)∑i=1N∑j=1Md(ij)输入格式输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。接下来的T行，每行两个整数N、M。输出格式T行，每行一个整数，表示你所求的答案。输入

复习了一下感觉做的题都是第二种类型的mobius反演1.YY的gcd有好几题都是这个扩展出去的什么区间-区间就是容斥一下还有不能重复的就减去$f(b,b)/2$就可以了2.[SDOI2015]约数个数和这题用到一个比较技巧的东西,$f(x)$代表x的约数个数$f(nm)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}i|n,j|m,gcd(i,j)==1$推式子反正网上都有。。打起来太麻

原题链接差不多算自己推出来的第一道题QwQ题目大意\(T\)组询问，每次问你\(1\leqslantx\leqslantN\)，\(1\leqslanty\leqslantM\)中有多少\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)\in\mathbb{P}\)数据范围\(T=10000\)，\(1\leqslantN,M\leqslant10000000\)显然，暴力不可做。这种公约数计数的题貌似大

//容斥原理，c[i]表示i当前要算的次数，复杂度和第二层循环相关O(nlogn~n^2)LLin_exclusion(intn,int*c){for(inti=0;if(n)=sigma{u(逆条件)*F(x),x和n满足的条件}这个结论在国家集训队2013论文集中的浅谈容斥原理有提到1LLin_exclusion(intx,intn,int*c)2{3n/=x;4for(inti=0;igcd

题目链接：bzoj3994题目大意：设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求∑ni=1∑mj=1d(i∗j)题解：莫比乌斯反演−−−−−−知识储备公式：d(i∗j)=∑x|i∑y|j[gcd(x,y)=

bzoj2154(洛谷P1829)：Crash的数字表格题意求∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)题解显然lcm(i,j)=ijgcd(i,j)lcm(i,j)=ijgcd(i,j)原式变成∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)我们换成去枚举gcdgcd，可以得到∑k=1min(n,m)1k∑i=1n∑j=1mij[gc

一、什么是莫比乌斯反演？

题目描述神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N,M,求1#include#include#defineLLlonglongconstintmaxn=1e7+5;usingnamespacestd;LLmu[maxn],h[maxn],prime[maxn],sum[maxn];boolnot_prime[maxn];intn,m,test,cnt;voidget_mu(intn){mu[1]

lfloorm/d\rfloor(\sum_{x|d}\mu(d/x))ans=∑d=1min(n,m)⌊n/d⌋⌊m/d⌋(∑x∣dμ(d/x))就是前面就是整除分块，后面就是前缀和预处理解决多组询问式子是由莫比乌斯反演推出来的

第一道莫比乌斯反演。。。

莫比乌斯反演洛谷题目传送门BZOJ题目传送门和NOI2010能量采集很像。

题目链接：洛谷莫比乌斯反演+整除分块qwqqwqqwq如果不会莫比乌斯反演，珂以看我的博客qwq做这道题之前珂以先看HDU1695和我的题解qwq先把答案表示出来：ans=Σi=1NΣj=1M[gcd(

一维的时候我们知道，∑ni=1d(i)=∑ni=1⌊ni⌋，然后这个可以拓展到二维，然而我并不会证明ans=∑i=1n∑j=1m⌊ni⌋⌊mj⌋,gcd(i,j)=1然后莫比乌斯反演。

写在前面本文章已同步发布在博主的博客园，也可以去那里看这是蒟蒻第一次写这么长的博文如果觉得写得凑合就点个支持吧qwqqwqqwq前置知识积性函数、狄利克雷卷积、数论分块（这一篇去找gyh吧我讲也讲不好）(有空慢慢补)Mobius函数定义莫比乌斯函数μ(n)\mu(n)μ(n)定义为：μ(n)={1,n=1(−1)s,n=p1p2…ps（s为n的本质不同的质因子个数）0,n有平方因子\mu(n)=\

https://www.luogu.org/problem/P2257感觉这道题还是很难，公式推到一半觉得推不动了，而且觉得那复杂度还是很高。首先设函数如下：我们开始推公式：我们的答案ans我们令d/n=t我们可以得到得到这样的公式已经很可以了，但不过还不能得到答案，因为这样复杂度还很高我们另tp=T然后我们换一下枚举的变量，枚举变量T然后可以预处理后面的莫比乌斯函数，对于一个质数t，他的所有倍数

3994:[SDOI2015]约数个数和TimeLimit:20SecMemoryLimit:128MBSubmit:1052Solved:720[Submit][Status][Discuss]Description设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求Input输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。接下来的T行，每行两个整数N、M。OutputT行，每行一个整数，

P2257YY的GCD思路求∑i=nn∑j=1mgcd(i,j)==k(k∈prime)\sum_{i=n}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)==k(k\inprime)∑i=nn∑j=1mgcd(i,j)==k(k∈prime)对上面式子进行化简：=∑k=1n∑i=1nk∑j=1mkgcd(i,j)==1,k∈prime=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{\f

初学莫比乌斯反演，翻了大量的题解才搞懂这题，所以决定自己写一个最详细的题解，虽然有些繁琐，但是每一步推导都十分详细。

constintN=5e5+5;intmob[N+1],p[N+1],num[N+1],sum[N+1][20],cnt;boolvis[N+1];voidx_x(){mob[1]=1;f(i,2,N){if(!vis[i]){p[++cnt]=i;num[i]=1;mob[i]=-1;}for(intj=1;p[j]>t;while(t--){scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);l

什么是莫比乌斯反演关于莫比乌斯反演莫比乌斯反演，又称懵逼钨丝繁衍，是一种看了就一脸懵逼的东西。好吧好吧，严肃点。

莫比乌斯反演与容斥原理说真的。刚接触莫比乌斯反演的时候我觉得这玩意很神奇。随着认识的加深。我觉得这玩意跟容斥原理真的好像。方便理解。来个栗子。。

题目链接题意：给定nnn个数和qqq个询问，询问有两种：1.1.1.给定iii和valvalval，将a[i]a[i]a[i]的值更新为valvalval2.2.2.给定iii，求∑j=1na[j](gcd(i,j)==1)\sum_{j=1}^na[j](gcd(i,j)==1)∑j=1na[j](gcd(i,j)==1)思路：考虑询问操作的实现：由艾弗森约定，得：Ans=∑j=1na[j](g

1.BZOJ2440《[中山市选2011]完全平方数》莫比乌斯反演（二分+判定），是容斥原理的一个很重要的应用。2.BZOJ2748《[HAOI2012]音量调节》背包类动规，每个阶段选择调低或调高。

目录原根质因数分解卢卡斯定理（Lucas）数论分块莫比乌斯反演杜教筛威尔逊定理原根若(a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1，使得ax≡1(modm)a^x\equiv1(mod\m)ax≡1(modm

又记错莫比乌斯反演式子了(╯‵□′)╯︵┻━┻\(Description\)给定\(n\)。有一个初始为空的集合\(S\)。令\(g\)表示S中所有数的\(\gcd\)。

杜教筛（似乎有很多人在催我的杜教筛呢......）前言话说，我是不是在自己的莫比乌斯反演中挖了许多杜教筛的坑啊......本文完整的总结介绍杜教筛，也算是将莫比乌斯反演中的坑全部填满吧！

TimeLimit:50SecMemoryLimit:256MBSubmit:8210Solved:4024[Submit][Status][Discuss]Description对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y)=k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。Input第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、

中随机取一个数放到容器中，当容器的gcd为1时停止，求期望步数，用分数形式的逆元输出题解思路：表示只会容斥的思路啊，反演的题解那步概率的转移没看懂==(p/(1-p))哪个不知道怎么来的下面主要提一下容斥，以后有能力了补莫比乌斯反演的方法