RSA的理论基础是数论的欧拉定理，它的安全性依赖于大整数的素因子分解的困难性。RSA可用于加密，签名等。

网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊，于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法，供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦，想为后来人节约一点时间罢了。

文章目录素数计数函数的估计值斐波那契数列通项公式常用性质矩阵快速幂辗转相除法实现效率应用最大公约数的性质素数筛埃拉托瑟尼筛实现效率积性函数欧拉函数常用性质欧拉反演证明欧拉筛实现效率原理和应用生成积性函数的函数值表欧拉定理推论贝祖定理证明推论扩展辗转相除法推导实现解空间线性同余方程线性同余方程有解的充要条件是

对于两个正整数gcd(a,m)=1，由欧拉定理可知，存在正整数d≤m-1，比如说欧拉函数d=φ(m)，即小于等于m的正整数中与m互素的正整数的个数，使得ad≡1(modm)。

才会拓展欧拉定理太菜了qwq具体：http://blog.csdn.net/ez_yww/article/details/76176970这题直接套就好#includeusingnamespacestd

题意：F[0]=a,F[1]=bF[n]=F[n-1]*F[n-2](n>1)现在给出a,b,n，你能求出F[n]的值吗？思路：将F[n]推到F[0],F[1]可发现F[n]能表示成两个连续斐波那契数次幂的F[0]和F[1]的乘积：F[n]=F[0]^(n-1)*F[1]^(n)。矩阵快速幂求出斐波那契数,然后普通快速幂求出F[n]即可。但会发现一个问题，假设k很大，x^k和x^(k%mod)是不

Input输入包含多组测试数据；每组数据占一行，包含3个整数a,b,n（0=phi[mod]时成立)(在我之前的博客里面，我利用过该公式)但是这个地方不行，因为mod非常大，没有什么作用)下面我们要利用欧拉定理来解决

浅谈简单数论及其应用涉及内容：欧几里得，扩展欧几里得，欧拉函数，费马小定理，欧拉定理，逆元，中国剩余定理符号声明∑表示求和符号。∏表示求积符号。a≡b(modn),表示整数a,b对模n同余。

扩展欧拉定理ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)gcd(a,p)=1abgcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp)证明转载自http://blog.csdn.net

ProblemDescriptionM斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：F[0]=aF[1]=bF[n]=F[n-1]*F[n-2](n>1)现在给出a,b,n，你能求出F[n]的值吗？Input输入包含多组测试数据；每组数据占一行，包含3个整数a,b,n（0FileName:hdu4549.cpp>Author:ALex>Mail:[email protected]>Crea

若gcd(a,n)gcd(a,n)gcd(a,n)=1,，则aφ(n)=1(modn)a^{\varphi(n)}=1(mod~n)aφ(n)=1(modn)铺垫:同余类与剩余系证明:对于nnn的一个简化剩余系{a1‾,a2‾,......aφ(n)‾\overline{a_1},\overline{a_2},......\overline{a_{\varphi(n)}}a1,a2,......a

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/18203来源：牛客网输入描述:第一行一个整数T，表示数据组数。对于每组数据，第一行两个整数N，k，含义如题所示接下来一行N个整数，表示给出的序列保证序列内的数互不相同输出描述:对于每组数据，输出一个整数表示答案，对109+7109+7取模每组数据之间以换行分割题解：设子序列的长度为k，序列长度为n对于任一数a,设其是该

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/330/E来源：牛客网有一个n行m列的方阵。现在它要为这个方阵涂上黑白两种颜色。规定左右相邻两格的颜色不能相同。请你帮它统计一下有多少种涂色的方法。由于答案很大，你需要将答案对1e9+7取模。输入描述:仅一行两个正整数n,m，表示方阵的大小。输出描述:输出一个正整数，表示方案数对1e9+7取模。输入22输出4备注:1≤n

题目背景模板题，无背景题目描述给你三个正整数，a,m,ba,m,ba,m,b,你需要求：abmodma^b\modmabmodm输入输出格式输入格式：一行三个整数，a,m,ba,m,ba,m,b输出格式：一个整数表示答案输入输出样例输入样例#1：复制274输出样例#1：复制2输入样例#2：复制9982443531234598765472103312450233333333333输出样例#2：复制5

在处理计算几何的问题中，有时候我们会将其看成图论中的graph图，结合我们在图论中学习过的欧拉定理，我们可以通过图形的节点数(v)和边数(e)得到不是那么好求的面数f。

欧拉定理若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则a^φ(n)≡1(modn)特别的φ（1）=1欧拉函数性质(1)p^k型欧拉函数:若N是质数p(即N=p),φ(n)=φ(p)=p-p^(k-1

N,使得在1~N之间能够找到x使得x满足gcd（x,N）>=M，求解gcd(x,N)的和输入多组测试数据每行输出两个数N，M（N,M不超int）输出输出sum样例输入53样例输出5上传者ACM_张书军欧拉定理

一、威尔逊定理若p为质数，则p|(p-1)!+1亦：(p-1)!≡p-1≡-1(modp)例题：HDU2973YAPTCHA(威尔逊定理及其逆定理)解题报告见http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/18728157二、费马小定理假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1（modp）我们可以利用费马小定理来简化幂模运算：由于a^(

费马小定理假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1（modp）欧拉定理gcd(a,n)=1,则a^≡1(modp)其中,是欧拉函数欧拉定理证明模m的同余类共有m个,分别为它们构成m的完全剩余系

欧拉定理：当gcd(x,m)==1时，有x^oula(m)=1modm；其中oula（m）为小于n且与n互质的数的个数，称之为欧拉函数当然大多数情况下，我们可以使用暴力的方法求解oula（m），但效率太低

欧拉函数首先phi(n)phi(n)phi(n)即为欧拉函数φ(n)\varphi(n)φ(n)对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1φ(1)=1φ(1)=1）。例如φ(8)=4φ(8)=4φ(8)=4，因为111,333,555,777均和888互质。欧拉函数公式：φ(x)=x∗(1−1p1)(1−1p2)……(1−1pn)\varphi(x)=x*(1-\fra

思路;首先求下b的值，如果b小于c的话不能用欧拉定理，直接快速幂即可。如果b非常非常大的话，就要用到欧拉定理。

费马小定理:若p是素数,a是正整数且不能被p整除,则ap−1=1(modp)ap−1=1(modp)费马小定理的扩展:ap=a(modp)ap=a(modp)欧拉定理:对任意互素的a和n,设ϕ(n)ϕ(

点击打开链接-------------------------------------欧拉定理的内容---------------------------------------------------

费马小定理：引理：若集合{f}={f1,f2,f3...fm-1}中元素对m取模的结果遍历了（1~m-1）所有值，且k与m互质，则{f1k,f2k,f3k...}对m取模的结果同样遍历（1~m-1）所有值（或者用偏理论的语言描述：如果{a1,a2,a3...am}是m的一个完全剩余系，且k与m互质，则{a1k,a2k...amk}也是m的一个完全剩余系）证明：应用反证法，假设:于是：设①②②-①，

准备买了、这里先浅议下欧拉定理和欧拉函数。很久以前以为他俩一个意思()欧拉函数:定义：用于计算p(n)，比n小的所有与n互质的数。

费马小定理设m为素数，a为任意整数，且$(a,m)=1$，则$a^{m-1}\equiv1(mod\m)$.证明：构造一个群$G$，下证这是一个群.封闭性:对任意[i]、[j]，假如不封闭，因为集合是除[0]外的剩余类，所以$[i][j]=0$$\because[i][j]=0\quad[ij]=0,则m|ij，又因为(i,m)=1\quad(j,m)=1\therefore(ij,m)=1\qu

欧拉定理：\(a^{\varphi(n)}\equiv1\(mod\n)\)，其中\((a,n)=1\)费马小定理：\(a^{p-1}\equiv1\(mod\p)\)，其中\((a,p)=1\)，容易发现是欧拉定理的一种特殊情况

摘要本文主要介绍了数论中的欧拉定理，进而介绍欧拉定理的拓展及应用，结合例题展示如何使用拓展欧拉定理实现降幂取模。在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质定理。

若(a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1，则满足aφ(m)≡1(modm)a^{\varphi(m)}\equiv1\(mod\m)aφ(m)≡1(modm)证明设与m互质的数为b1,b2,b3,...,bφ(m)∵(a,m)=1∴ab1,ab2,ab3,...,abφ(m)都与m互质，且每个数均不相同∴{b1,b2,b3,...,bφ(m)}中，每一个数一定与{ab1,ab2,ab3,...

首先要明白，以a≡b(modn)为例子“≡”是数论中表示同余的符号（注意！！这个不是恒等号）同余的定义是这样的:给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能被n整除，即(a-b)modn=0，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(modn)，同时可成立amodn=b。也就是相当于a被n整除余数等于b的意思。威尔逊定理(p−1)!≡p−1≡−1(modp)(p是素数)((p−1)!)%p=p

网上现在讲欧拉定理证明的文章好少啊，于是博主就在学习之后萌发了写一篇证明的想法，供大家参考。其实主要是自己找资料找得太辛苦，想为后来人节约一点时间罢了。

一、准备工作点击查看数论基础知识二、威尔逊定理威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。1.定理及其变形当且仅当p为素数时，(p-1)!≡-1(modp)当且仅当p为素数时，(p-1)!≡p-1(modp)若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除当且仅当p为素数时，p∣(p−1)!+12.例题hdu2973YAPTCHA题解分析

https://www.nowcoder.com/acm/contest/132/E给定数组A，有2种操作1.区间更新，a[l]...a[r]都加x2.求阶乘幂a[l]^(a[l+1]^(...a[r-1]^a[r]))解：区间更新用树状数组A[i]记录原数组delta[i]记录a[i]到a[n]共同的增量xdelta[i]=i*delta[i]sum[i]=(A[1]+...+A[i])+(i+

数学杀我欧拉函数对于一个正整数xxx，小于xxx且和xxx互质的正整数的个数，记做φ(x)\varphi(x)φ(x)。其中φ(1)\varphi(1)φ(1)被定义为111。φ(x)=x∏p∣xp−1p\varphi(x)=x\prod_{p|x}\frac{p-1}pφ(x)=xp∣x∏pp−1部分性质：若ppp是质数，φ(p)=p−1\varphi(p)=p-1φ(p)=p−1。若xxx是质

前置工作在分析这两个定理之前,先引入几个重要的定义和定理:definition:所有对自然数m同余的自然数组成的集合称m的完全剩余类.所有对自然数m同余的且余数和m互质的自然数组成的集合称m的简化剩余类.在每个完全剩余类中任取一个,组成的集合称m的完全剩余系.在每个简化剩余类中任取一个,组成的集合称m的简化剩余系.{definition:}\\所有对自然数m同余的自然数组成的集合称m的\textb

EulertheoremTimeLimit:2000/1000MS(Java/Others)MemoryLimit:524288/524288K(Java/Others)TotalSubmission(s):1322AcceptedSubmission(s):868ProblemDescriptionHazelFanisgiventwopositiveintegersa,b，andhewantst

先来介绍几个与欧拉函数有关的定理：定理一：设m与n是互素的正整数，那么定理二：当n为奇数时，有。因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么关于这个定理的证明用到容斥：由于表示小于与互素数的正整数个数，所以用减去与它不互素的数的个数就行了。那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数，有个。所以定理得

#include#definelllonglongusingnamespacestd;constintN=2;constintMX=40000;lla,b,p,MOD,n,tot,prime[7000];boolnop[MX];structMatrix{llmat[N][N];Matrixoperator*(constMatrix&p){Matrixres;for(inti=0;iMOD)res.

1,1后面加1个0，然后删除第一个字符，问需要多少秒才能删完、题解可以发现：0会使答案加1,1会使答案T*2+2，2会使答案T变成(2^(T+1)-1)*3，所以一边计算即可，但是由于要取模，所以需要扩展欧拉定理

欧拉定理的内容证明及欧拉函数的推导内容aφ(n)≡1(modn)其中φ(n)是欧拉函数，下面是关于φ(n)的求法φ(n)的求法φ(n)就是求[1,n]的区间与n互质的数的个数。

①欧拉定理和费马小定理欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互素，则:。费马小定理：若p为素数，a为正整数且和p互素，则：。

（一）欧拉定理：互质：若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。

#前言数论专题，如果不了解欧拉函数的话可以先看我前面的博客，有对欧拉函数较为详细的介绍#欧拉定理直接切入主题。

欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。这是因为Zn={1,2,3,...

欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。完全余数集合：定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。有关性质：对于素数p，φ(p)=p-1。对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。这是因为Zn={1,2,3,...

费马小定理若ppp为质数，且(a,p)=1(a,p)=1(a,p)=1，那么则有ap−1≡1(a^{p-1}\equiv1(ap−1≡1(modp)p)p)应用一般用于求模质数意义下的逆元，定理两边同时除以aaa有ap−2≡1a(a^{p-2}\equiv\frac{1}{a}(ap−2≡a1(modp)p)p)，则此时ap−2a^{p-2}ap−2即为aaa的逆元。还可以简化模意义下乘方运算的指

文章目录求素数的个数同余方程乘法逆元法一、扩欧法二、费马小定理法三、递推公式除法分块欧拉定理裴蜀定理求素数的个数一篇博客一道题voidsu(){vectorvis(n+1,0);vectorprime(

记得乘向量……费马小定理只有质数才能用欧拉定理也要互质诸如max(solve1(),solve2())好像是先执行solve2()……不过这个可能是未定义行为。。

目录一.欧拉函数二.指数循环节三.欧拉定理（费马小定理）四.二次探测定理五.威尔逊定理六.Miller-Rabin素性测试七.二元一次不定方程1.结论及证明2.扩张欧几里得八．乘法逆元九.拉格朗日插值法十