伟大的法国数学家、物理学家——让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，发现了周期函数都可以写成N个正余弦乘以一个系数的累加和，他称这样的变换方法为傅里叶级数展开；随后有更多个科学家在这基础上不断发展，把傅里叶级数和欧拉公式相结合

在前面的文章中，我们介绍的都是纯数学世界里的欧拉定理的各个结论，相关内容请戳：扒一扒那些叫欧拉的定理们（十一）——欧拉数论定理扒一扒那些叫欧拉的定理们（十）——群论观点下的欧拉公式进阶扒一扒那些叫欧拉的定理们

目录树的基本概念及性质生成树及算法根树最优树和哈夫曼算法欧拉图欧拉图的判定哈密顿图偶图匹配平面图欧拉公式特殊图的应用树的基本概念及性质树是一种由节点和边构成的数据结构，它的特点是没有环路，每个节点恰好有一个父节点

=−1）：C=R+jIC=R+jIC=R+jI极坐标下C=∣C∣(cos⁡θ+jsin⁡θ)C=\big|C\big|(\cos\theta+j\sin\theta)C=C(cosθ+jsinθ)使用欧拉公式

主要思路:从欧拉公式推证得四条积化和差公式,得到了三角函数中加减乘除的转换基础,之后的证明就非常简单了.1我们首先从欧拉公式推出sinx和cosx2再推出积化和差的四个基本公式积化和差的具体推导只是一个非技巧性的推证

英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的10个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式……多少伟大的智慧曾耗尽一生，才最终写下一个等号

右边是著名的欧拉公式，等于0；左边是不太著名的拉马努金恒等式，就是电影主人公的成果之一。其实，对数学专业的人来说，这个公式也很著名，它等于3。海报寓意，恒大队将以3:0赢得比赛。

欧拉公式被称为真正的宇宙第一公式，欧拉公式的推导，是将三角函数与复指数函数巧妙地关联了起来。其中，e为自然常数，i为虚数，x则是以弧度为单位的参数（变量）。

本文是数学分析新讲的部分内容脉络1复数的表示与运算2复数序列与实变复值函数的分析性质3欧拉公式0.基本概念复数z，模|z|，辐角Argz，虚单位i，实部Re，虚部Im1.复数的三种表示方法直角坐标，极坐标

FFT公式合成公式两个要点1.负频率是源于欧拉公式,正负频率会将虚数项抵消，最终生成实信号。2.在FFT公式中，0项代表DC直流频率，1-N/2项代表正频率，后面的项代表负频率。

数系自然数N{1,23}整数Z{-1,0,+1}有理数Q{x|x=P/Q}//两个数可以写为整数的比实数R//数轴上的全部复数//虚数x^2=-1=>问题一个数的复数次幂是多少=>欧拉公式欧拉公式e^iℰ

根据欧拉公式e^{jx}=\cosx+j\sinx可以得到\begin{aligned}s_p(t)&=\operatornam

个亮纹的角半径计算方法第N个亮纹处的条纹角间距计算公式上述内容是干涉内容下部分是衍射内容光的衍射主要分菲涅尔衍射和夫朗费和衍射两种菲涅尔衍射主要讲了菲涅尔半波带及菲涅尔波带片弗朗禾费单缝衍射讲了他的振动方程复振幅欧拉公式聚集在

直到在工作中，因为要用到傅里叶变化，便重新学习傅里叶变化，学着学着，发现是因为我没有理解傅里叶变化里面的欧拉公式，才

如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？知乎：虚数i是真实存在的吗？如何理解洛必达法则？如何理解对数?为什么“1+1=2”，需要“证明”？如何通俗地理解群论？

英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终上榜的十个公式从第一名到第十名依次为：麦克斯韦方程组、欧拉公式、牛顿第二定律、勾股定理/毕达哥拉斯定理、质能方程、薛定谔方程、1+1=2、

由欧拉公式得代入可得令则可以得到傅里

公式如此，但是在程序中并非如此运算，而是利用欧拉公式对DFT的计算公式进行了转化转换后公式变为利用转化后的公式进行程序编写就变得思路清晰起来。

目录零、参考文献一、时域和频域的概念1、时域（时间域）2、频域（频率域）二、相位谱0）前言1）相位谱引入2）完整立体图三、傅里叶变换0）前言1）引入2）欧拉公式（1）虚数i的理解（2）欧拉公式的作用3）

目录概述数学基础微积分复数复平面欧拉公式单位根及性质定义傅里叶变换(FT)作用公式频域的相关解释傅里叶逆变换(IFT)公式离散傅里叶变换(DFT)公式DFT的实现离散傅里叶逆变换(IDFT)实现DFT的结果含义快速傅里叶变换

泰勒展开学习泰勒公式习题常用的泰勒公式泰勒公式理解欧拉公式推导（e^iπ+1=0）泰勒公式的应用泰勒公式的应用习题泰勒公式求极限泰勒公式求极限习题

[1]R+V-E=2就是欧拉公式。中文名欧拉公式外文名Euler'sformula别名欧拉方程提出者提出时间1752年适用领域复数，三

对于所有和一个球面同胚的多面体，这就是欧拉公式，翻译成白话就是在一个不和自己交叉的多面体中(和球面球面同胚)，面(Face)的个数，加顶点(Vertice)的个数，减边(Edge)的个数永远等于2。

importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpx=0y=1X=np.zeros(100)Y=np.zeros(100)h=0.1foriinrange(1,100):y=1.1*y-0.2*x/yx=x+hX[i]=xY[i]=yprint(x,y)plt.plot(X,Y)plt.scatter(X,Y)plt.show()0.11.10.21.19181

三角函数先回顾下Cosine和Sine函数定义。先给定一个单位圆(半径是1)的点CCC，x轴正方向逆时针到那个点的角度为θ\thetaθcos⁡θ\cos{\theta}cosθ是那个点xxx轴的坐标sin⁡θ\sin{\theta}sinθ是那个点yyy轴的坐标如下图所示：点CCC的坐标是(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x,y)=(\cos{\theta},\sin{\theta})(x

原理(Euler’sFormula)：exp(jwt)=cos(wt)+jsin(wt)f=0.5;%定义频率；w=2*pi*f;%定义角频率；nMax=400;%定义采样点数；ts=1/100;%定义采样时间间隔；n=0:nMax;%采样序列；x=exp(1i*w*n*ts);%复指数函数形式；%plot3(n*ts,real(x),imag(x));t=n*ts;生成以ts为采样间隔，n为采样

欧拉公式是数学中最重要的公式之一,它涉及到了复数,无理数,三角函数,简单优美eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)eiθ=cos(θ

基本知识：1.复数其中R（Real）为实部，I（Imag）为虚部，j=sqrt(-1)其共轭复数为复数的模长2.复函数其中R（Real）为实分量函数，I（Imag）为虚分量函数，3.欧拉公式在傅里叶级数的运算中

可以使用欧拉公式进行转换，如图所示：变换结果

1、复数：多项式有几阶则有几个解2、欧拉公式：图中为相位值域为（）3、复数的向量特性：（1）向量Z的相位解求时要根据象限（2）复共轭特点（3）实部与虚部4、复数的加法与其向量解释：5、复数乘法与复共轭相乘

importmatplotlib.pyplotaspltxx=[0]yy=[1]defh(x,y,h):foriinrange(h):y=1.1*y-0.2*x/yx=x+0.1xx.append(x)yy.append(y)print(x,y)h(0,1,150)plt.plot(xx,yy)plt.show()

代码：importmatplotlib.pyplotaspltx=0y=1xx=[0]yy=[1]forninrange(10):y=1.1*y-0.2*x/yx+=0.1xx.append(x)yy.append(y)print(plt.plot(xx,yy))plt.show()

代码：importmatplotlib.pyplotaspltxx=[]yy=[]x,y,h=0,1,0.1foriinrange(10):x=x+hy=y+h*(y-2*x/y)xx.append(x)yy.append(y)plt.plot(xx,yy)plt.show()图示：

代码如下：importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpxx=[]yy=[]x=0y=1h=0.1foriinrange(10):x+=hy=1.1*y-0.2*x/yxx.append(x)yy.append(y)plt.plot(xx,yy)plt.show()运行截图：

/L2-norm的周期损失函数1BEV下，Eula损失函数Yolo-complex的论文中，对于BEV视角下，目标检测的角度使用了Eula损失函数复变函数中，e^(ix)=(cosx+isinx)称为欧拉公式

欧拉公式求解利用计算机画出精准的图像用到了列表，for循环将值填入列表列表添加list.append()每次只添加一个，可添加元素或者列表list.extend()添加列表list.insert()插入元素

1.Euler公式2.例题求解：2.1实现代码：importmatplotlib.pyplotaspltxx=[0]yy=[1]h=0.1#由题意得step步长为0.1x=0#初始x值y=1#初始y值foriinrange(0,10):#由题干可得x每次进0.1，从0至1共十次，故循环10次#由题干可得函数表达式y=1.1*y-(0.2*x/y)x=x+hxx.append(x)yy.append

importmatplotlib.pyplotaspltx=0y=1xx=[0]yy=[1]forninrange(10):y=1.1*y-0.2*x/yx=x+0.1xx.append(x)yy.append(y)print(plt.plot(xx,yy))plt.show()

0.3散度0.4欧拉公式1.卷积与傅里叶变换1.1傅里叶变换1.2时域的卷积等于频域的乘积2.拉普拉斯变换3.拉普拉斯算子4.拉普拉斯矩阵与其特征向量5.太长不看总结版extra注：大量借鉴内容，且本文并不重在详细公式的推导

一、预备知识（差商的推导）二、一阶常微分方程数值解（1）初值问题（2）欧拉公式推导注意：并不是说相等，只是近似解。

数学之美——自然常数e小故事和宇宙第一公式自然常数纳皮尔对数计算表伯努利无限复利微积分中的自然常数宇宙第一公式：欧拉公式Google上市融资总额：e的前10位数字自然常数上小学的时候，老师教我们，自然数是指表示物体个数的数

目录概述一、泰勒公式1.从一阶泰勒公式说起2.一阶到二阶3.洛必达法则4.泰勒中值定理（泰勒公式）范式5.柯西中值定理二、欧拉公式1.证明2.在复平面单位圆上的点可以用三角函数来表示3.复平面上乘法的几何意义

学习了一下欧拉公式，果然很神奇，用到了自然常数e，圆周率π，虚数i，三角函数sin/cos，指数，还有泰勒展开．不是算法有多难，只是涉及基础太多，经常被卡住，总结如下．２.泰勒展开泰勒展开是用多项式逼近原函数

欧拉公式参考Wikipedia，欧拉公式（Euler’sFormula）数学表达式为：eiφ=cos⁡φ+isin⁡φe^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphieiφ=cosφ

欧拉公式ejwtInthispostwewillexploreEuler’sFormula,explainwhatitis,whereitcomesfrom,andrevealitsmagicproperties

它的推导过程对学过微积分的人来说不太困难，其实要证明欧拉公式，在你没有高等数学知识的情况下是几乎不可能的。

1、欧拉公式e是自然对数的底，i是虚数单位。

原来上帝与我同在，欧拉也与我同在。——节选自《人类最美的54个公式》在人类的学问里，最接近上帝的是数学。数学追求最高的精确、最合理的逻辑。但更奇妙的是，这个宇宙竟都是经得起每一个极简公式的一再推敲考证。不过，世界只有极少数人天生对数具有强有力的直觉与天赋，这种天赋拉着他们有如抛物线般地回归，不断试图偷取上帝的语言以帮助人类面对和解释宇宙里最基本的存在。在这样一小撮天才之中，却只有犹如“上帝之子”的

1.起源——欧拉公式，i是什么，欧拉公式在复平面的意义。eix其实构成了完备的标准正交基。i代表了旋转。欧拉恒等式在数学中严谨可以用泰勒公式推导得出，由eix和sinxcosx的泰勒展开可得。

https://blog.csdn.net/xieyan0811/article/details/72833722欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数