微分几何的24-33节笔记暂记（第一基本形式，第二基本形式）

微分几何笔记

曲面上的度量

第24节：曲面上的度量（第一基本形式）

  第一基本形式：
看一下r的微分：dr=r'udu+r'vdv(du,dv是两个数量，dr也表示成了切向量)
              dr^2=(r'udu)^2+2*r'udu*r'vdv+(r'vdv)^2 关于uv的二次微分形式
              将这样的二次微分形式   为曲面的第一基本形式 记为：I

              系数E=r'u^2, F=2*r'u*r'v, G=r'v^2第一基本量
              I=E du^2+F dudv+G dv^2 
             矩阵： [E F;F G] 是正定矩阵  
           （E,G大于零，二次型：各阶主子式大于零
             由拉格朗日恒等式EG-FF=r'u r'v的向量积的平方，以上矩阵可以表达成二次型）
 I=(du dv) [E F;F G] (du dv)' 

度量矩阵[E F;F G]：度量空间

有了度量矩阵，就可以定义曲面上的内积，之前三维空间有了内积
此为诱导度量：I(X,Y)==X*Y’ X,Y是点p处的任意两个切向量
X,Y都可由r’u r’表示，X=（x1,x2）（r’u,r’v）’
I(X,Y)=(x1,x2)E F;F G’

度量矩阵
https://blog.csdn.net/qq_45011547/article/details/91126133
知道了任意两个基向量的内基也就知道了度量矩阵，之所以提出度量矩阵的概念其实是为了方便计算两向量的内基。因为只要基向量相同，计算内基只须将向量的坐标和度量矩阵两边相乘即可，有利于减少计算量。特别是对于大规模的矩阵运算很有意义！

实数域上的度量矩阵是正定矩阵。度量矩阵和所选的一组基向量有关, 如果选择的是标准正交基, 度量矩阵为单位矩阵。

对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁。

扩展资料：

从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。

不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。

第25节：曲面上的度量（第一基本形式）

   求曲线{u=u(t);v=v(t);t在t1,t2}的弧长：
                   s=∫(t1,t2) |r'(t)|dt=∫(t1,t2)√I(r'(t),r'(t))dt 
    I(r'(t),r'(t))在知道第一基本形式和不知道r时适用，所谓内蕴几何：根本无外部空间，生活

在曲面上，我们只靠曲面上的一些本质的内蕴的量来研究曲面的性质，那么方程r(u,v)可以是不知道的，
只知道它的第一基本形式，只知道一些系数，而从以后可见，不同的曲面就可以有相同的第一基本形式，
上面的度量形式（弧长，夹角）一样
曲面域的面积：σ=∫∫（D）√FG-F^2 dudv
分析中可能见过
命题：曲面上的坐标曲线网，在每一点处正交，则为正交参数曲线网
正交网《=》F=0
例：r=(u,v,0)
r’u=(1,0,0) r’v=(0,1,0)
I=du^2+dv2=
球面：r=(acosθcosφ,acosθsinφ,asinθ) θ φ <=>u v
r’θ=
r’φ=
I=a^2dθ2+0+a^2cosθ2

在三维空间中知道三个分量求内积：相应分量乘积求和
知道内在分量，在r’u.r’v上的分量，求内积要加上第一基本形式

第一基本形式的不变性：
第一基本形式是可允许的参数变换（雅可比不为零）下的不变量
而第一基本量的系数并非不变量
关系为 新的=J旧的J^-1
证明：25讲17分钟
：找出r’u,r’v之间的雅可比变换矩阵，再代入即可得证

至于题主说的 转置 ：不知道题主有没强奸过Photoshop，当你要对一张黄图进行 旋转 / 缩放 / 镜像 / 关于某个点对称 时，Ctrl+T 就好了。对，就是 T，刚开始还纳闷为毛用和PS文字工具易混淆的快捷键，被线代强奸过就懂了。。。 然后有木有发现转置的角标就是 T ？ 没错，这是我意淫出来的解释，后来发现 T 就是 Transpose（转置矩阵）的缩写。结论：
在二维空间里矩阵的 转置 ，就相当于 得到关于某个点对称的二维图像，有点像A4纸上写着矩阵的数表，摁着它的右上角，揭着它的左下角沿对角线往上掀啦
在三维空间里矩阵的 转置 ，同样是相当于 得到关于某个点对称的三维立体，想象一下一个正方体关于某个点对称的情形，这是一种特殊的旋转，左乘一个矩阵也可以殊途同归达到转置的效果

第26节：曲面上的度量（第一基本形式）

第一基本形式均为合同变换的不变量
证明方法和证明曲率挠率，TNB在合同下不变是一样的
 对P的合同变换PA+p0
     r~=rA+r0

E~= (r’u~)^2=r’uA(Atr’u^t)=r’u r’u^t
F~
G~同理

曲面上的曲线组和曲线网的微分方程

一个微分方程的积分曲线 例子：Adu+Bdv=0 (A,B都为uv的函数 ，假设A！=0，且可分离变量等，即方程可解） =》u是v和一常数的函数（给一个常数就能推出一条曲线，所以为一组曲线）， 微分方程Adu+Bdv=0是曲线组的切向量满足的方程

 Adu^2+2Bdudv+Cdv^2=0      其中(B^2-AC>=0)

得到两个解 du:dv δu:δv
如果相等则 曲线组相切/平行
正规曲线网：在任意点两组曲线都不相切：只需B^2-AC>0

27节：
看看u曲线（V为常数）v曲线（U为常数）参数方程的特征

  u曲线：“dv=0”
  v曲线同理
 参数网 dudv=0

Adu+Bdv=0 Cdu+Ddv=0两组曲线正交的冲要条件为：
（-B,A）与（-D,C）正交(只切屏面上的正交)
du:dv du:dv

  （-B,A）[E F;F G]（-D,C）=0

两组曲线的切向量：
X=-Br’u+Ar’v
Y=-Dr’u+Cr’v

命题：曲线网：Pdu^2+2Qdudv+Rdv2=0
为正交曲线网当且仅当：
RE-2FQ+RG=0 （只是上边的方程颠倒一下）

坐标网的选取：

     命题：任意正规曲线网总可以取为参数曲线网（做一个变换）
      证明：需要用到微分方程中的积分因子
            Adu+Bdv=0 Cdu+Ddv=0
            （-B,A）与（-D,C）不平行
            乘以个积分因子可将其写成全微分
           存在：m(u,v)   n(u,v)不为零
             m(Adu+Bdv) =du-
             n(Cdu+Ddv) =dv-
      看看是否为可允许的参数变换（u,v）=》（u-,v-）
       round(u-,v-)/round(u,v)=|mA mB;nC nD|
        因为：（-B,A）与（-D,C）不平行
       所以成立
       

     命题：曲面上的任意点p存在淋雨(邻域)D使得在D上总可取到正交坐标网

第28节：曲面上的度量（第二基本形式）

点p0的临近点与这点的切平面的代数距离--离差 r=r(u,v) 离差=p0p*n p0p=r(u+du,v+dv)-r(u,v)泰勒展开 =dr+1/2dr^2+o(du^2+dv^2)

离差=p0pn=1/2dr^2n=
假设函数存在需要阶的连续偏导数
r’u’v和r’v’u相同 (r’u’udu^{2+2r’u’vdudv+r’vr’vdv}2)
结果为关于du dv的二次的形式，这个二次性和之前的形式相似，
定义曲面上的二次基本形式：
dr^2n=
(r’u’un)*du^{2+(2r’u’v*n)*dudv+(r’v’v*n)dv}2
L 2M N
LMN称为第二基本量
N为数量 n为向量

另一形式：
drn=0
两边微分
dr^2n+dr dn=0 dr^2???
II=-dr*dn(L=-r’un’u,M=-r’un’v=-r’vn’u,N=-r’vn’v)
II=(du dv)[L M;M N](du dv)^T
但[L M;M N]不一定是正定的矩阵

第29节：曲面上的度量（第二基本形式）

矩阵直接相乘，是矩阵叉乘。依据线性代数里的矩阵运算法则。 .*为内积/点乘

x,y在一点的切平面
定义：
II(x,y)=(x1,x2)L M; M N^T
（原来的是II(r,r)因为r的切向量是dudv）
双线性映射：对第一个和第二个映射都是现行的
第二基本形式的不变性
（第一基本形式是合同变换的不变量，是参数变换的不变量，但是分量会发生改变）
在保持定向的参数变换和合同变换下是不变的，否则变号
证明：29节07.50
(1)参数变换及其关系
（u,v）=>(u_,v)
(u,v）=J(u_,v)
r’u~* r’v~=J(r’u*r’v)

若参数变换是保持定向不变的，则单位法向量不变，|J|>0=>n(u,v)=n(u_,v)
实际上： n(u,v)=n(u_,v)sgn(|J|)

II(u,v)=dr^2.n =-drdn
II(u_,v)=dr^2.n =-drdn
II(u,v)=II(u_,v)sgn(|J|)
(2)合同变换及其关系：pT+p0(T为正交矩阵，p0为固定点)
合同变换为线性变换
在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。
正交矩阵 定义：n级实矩阵A称为正交矩阵，如果AA=E。(A表示A的共轭转置，E是单位矩阵)
https://www.zhihu.com/question/21931863/answer/85019533?utm_source=qq&utm_medium=social
对于同一个线性空间，可以用两组不同的基和基来描述，他们之间的过渡关系是这样的 2=1P，
而对应坐标之间的过渡关系是这样的2=P^-11
所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同基的描述矩阵。这就是相似变换的几何意义。
原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！总而言之，相似变换是为了简化计算！

   r~'u=r'u*T   r~'v=r'v*T
r~u*r~v=(r'u*T)*(r'v*T)=|T|(ru*rv)T
    n~=|T|*n*T
 =>II~=dr~^2.*n~=|T|dr^2.*n (因为正交变换不改变内积，|T|=+1/-1)
               =|T|II

第二基本形式的计算：
L=r’u’u.*n
M=
N

第30节：平面和圆的第二基本形式

法曲率
：曲面上一条曲线（u=u(s),v=v(s)）的法曲率：
曲线的曲率是可知的r…=kN(r…不一定在切屏面上，主法向量N一定指向曲线的弯曲方向)
将其分解到曲面的主法向量和r’u,r’v上
r…=ar’u+br’v+cn
r…^┬ r…^┴al两部分

第31节：曲面的法曲率

r..*n=kN*n=kcos夹角 下面看看就不同曲线的法曲率是否相同

第32节：渐进方向和渐近线

kn
在一点法曲率为零《=》II=0
《=》Ld’n^{2+2Md’ud’v+Nd’v}2=0
《=》判别式：LN-M^2
>0 无实解 无实渐进方向 椭圆点 II为正定（负定）二次型
<0 两实解 两渐进方向 双曲点 II为不定
=0 易实解 一个渐进方向 抛物点
特别的：L=M=N=0 平点

渐近线：曲面上的曲线C C’=T
任意点曲线的切线方向均为曲面的渐进方向
kn(T)=0

第33节：渐进方向和渐近线

如果曲面上LN-M^2<0恒成立 则曲面上存在两组渐近线 构成曲面曲线网渐近线网 命题：曲面上的参数曲线网为渐近线网 《=》 L=N=0 r'u r'v为渐进方向 r'u=[1,0] r'v=[0,1] kn(r'u)=0《=》II(r'u,r'u)=0《=》L=0 kn(r'v)=0《=》II(r'v,r'v)=0《=》N=0

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z=x*y 双曲抛物面（马鞍面）
$$x^2/a^2-y^2/b^2=z$$
利用坐标旋转便知它是马鞍面：令x=(u+v)/√2, y=(u-v)/√2, z=z, 方程变作: z=½(u²-v²), 这就是马鞍面