积性函数

积性函数 hdu5528 Count a * b

积性函数太有趣了!做这个题之前，我们需要掌握一些基本知识。
逍遥丶綦·2020-08-15 15:22

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数是指以下的函数：在这里，λ(n)是刘维尔函数莫比乌斯函数是一个数论函数，它同时也是一个积性函数（μ(ab)=μ(a)μ(b),a,b互质）当n不等于1时，n的所有因子的莫比乌斯函数值的和为
长颜草·2020-08-15 15:08

对于莫比乌斯相关函数总结

φ(x)φ(x)若n=pkn=pk则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1积性函数若n=pk11∗pk22∗...
RustSword_RWZ·2020-08-15 12:13

暂时性的模板

快速乘普通版快速版快速幂欧拉函数线性筛欧拉函数线性筛莫比乌斯函数逆元RMQ_STMiller_Rabin线性基异或下的线性基实数下的线性基BigIntfft求高精度快速幂倍增约瑟夫问题中国剩余定理扩展中国剩余定理卢卡斯扩展卢卡斯指数循环BSGS莫比乌斯反演积性函数迪利克雷卷积杜教筛
henu_jizhideqingwa·2020-08-15 06:46

HELLO 2019 - Makoto and a Blackboard （积性函数+DP期望）

MakotoandaBlackboard题目链接：D-MakotoandaBlackboard题意给你一个N，定义一个操作：将N替换为他的一个因子（包括1和N）现在重复K次以上操作，问最后期望的值是多少？数据范围：N<=1015,K<=104N<=10^{15},K<=10^4Nusingnamespacestd;#definerep(i,j,k)for(lli=(ll)j
H_M_D·2020-08-14 19:09

积性函数与线性筛

积性函数与线性筛积性函数若一个定义在正整数域上的函数f(x)f(x)f(x)对于任意满足gcd⁡(x,y)==1\gcd(x,y)==1gcd(x,y)==1的x,yx,yx,y都有f(xy)=f(x)
H_M_D·2020-08-14 19:09

【集训队互测2012】JZPKIL（伯努利数）（Pollard-Rho）（积性函数）

传送门有了拉格朗日插值求自然数幂和，就算要好写也有差分法可以用，OI里面伯努利数还有什么用。当数据范围不大，但是需要多次求出具体系数的时候，伯努利数就有用了。在O(n2)O(n^2)O(n2)预处理组合数和1−n1-n1−n的逆元之后，利用伯努利数可以O(n)O(n)O(n)求出nnn次方幂和的多项式系数，这是拉格朗日插值和差分法不好做到的（当然也有可能是我菜）。算了，不扯了，推出来就知道为什么拉
zxyoi_dreamer·2020-08-14 08:38

你也想和我一样口算 1030 mod 11 吗？

文章目录素数计数函数的估计值斐波那契数列通项公式常用性质矩阵快速幂辗转相除法实现效率应用最大公约数的性质素数筛埃拉托瑟尼筛实现效率积性函数欧拉函数常用性质欧拉反演证明欧拉筛实现效率原理和应用生成积性函数的函数值表欧拉定理推论贝祖定理证明推论扩展辗转相除法推导实现解空间线性同余方程线性同余方程有解的充要条件是
未满的广口瓶·2020-08-14 08:01

线性筛实践

线性筛（欧拉筛）使用范围：得到[2…N]之间所以素数    说实话埃氏筛已经足够优秀，能基本做到o(n)，但欧式筛才是真正的线性筛且能在筛出质数的同时运算欧拉函数和莫比乌斯函数这两个积性函数的运算，实用于处理数论问题
SuperRabbit007·2020-08-14 00:47

2018ACM/ICPC徐州站网络赛D Easy Math（杜教筛）

今天看了很久tls的博客，才算对积性函数和杜教筛稍微有了一点了解。链接：点击此处查看原文。首先，这道题的n和m的范围都很大，所以线性的做法肯定是解决不了问题的。
happy_windman·2020-08-13 17:36

低于线性时间积性函数前缀和

常见转化：1.∑ni=1∑j|ij=∑ni=1i∗⌊ni⌋=∑ni=1⌊ni⌋∗(1+⌊ni⌋)2∑i=1n∑j|ij=∑i=1ni∗⌊ni⌋=∑i=1n⌊ni⌋∗(1+⌊ni⌋)22.∑i|nϕ(i)=n,ϕ(n)=n−∑i|n,iϕ(n)=n−∑i|n,iϕ(n)=n−∑i|n,i#include#include#include#include#include#include#include#
meopass·2020-08-13 15:26

洲阁筛学习总结

洲阁筛学习总结BySemiwaker问题描述给出一个积性函数F(x)，满足积性函数的基本性质：F(1)=1如果a和b互质，则F(ab)=F(a)F(b)设x=∏pkii，则有F(x)=∏F(pkii)特别的
SemiWaker·2020-08-11 13:50

欧拉函数、莫比乌斯函数、杜教筛

积性函数1、积性函数：任意互素的两个数m、n，满足f(mn)=f(m)f(n)常见积性函数：φ,μ,σ,dφ,μ,σ,dφ,μ,σ,dφ：欧拉函数μ：莫比乌斯函数d：约束个数函数d=∑d∣n1d=\sum
Cheng Yu·2020-08-11 12:14

线性筛d&&sd（约数个数&&约数和）

(ak+1)显然d是一个积性函数，我们可以用线性筛求出设prime[i]prime[i]表示第ii个质数num[i]num[i]表示ii的最小质因子
Coco_T_·2020-08-11 01:35

线性筛法及积性函数总结(欧拉函数、莫比乌斯函数、约数和函数、约数个数函数)...

线性筛法在数论中起着至关重要的作用，对于一部分求解有关积性函数的问题可以大大降低时间复杂度。线性筛法中，除了线性筛质数，所要筛的函数必须是积性函数，而线性筛这些函数的基础也是线性筛质数。
weixin_33727510·2020-08-10 23:20

杜教筛

（摘录自pengym大佬博客）前置技能：各种积性函数我们平时所惯用的数论函数都是积性函数。
UnicornXi·2020-08-10 19:51

西格玛函数σ 线性筛求约数和

http://www.elijahqi.win/archives/1247解法：待填坑其实这个完全可以拓展到线性筛求积性函数因为非完全积所以在两数不互质的情况下不可以直接相乘但是两数互质的情况下就可以直接相乘下面需要讨论下不互质的情况我设定一个数组
elijahqi·2020-08-10 16:40

杜教筛学习总结

积性函数：定义：如果一个已知函数为数论函数，且\(f(1)=1\)，
dft539533·2020-08-10 16:53

线性筛——莫比乌斯函数

莫比乌斯函数函数（积性函数都可以线性筛）主要是在线性筛素数的基础上得到的我们知道：若n=∏i=1npitin=\prod_{i=1}^np_i^{t_i}n=∏i=1npiti则μ(n)={(−1)kk
BNUbeginner·2020-08-10 15:21

杜教筛学习笔记

用途求一类积性函数的前缀和经典问题有求μ\muμ与ϕ\phiϕ的前缀和，本文将以这两个函数的前缀和为例前置狄利克雷卷积两个函数fff和ggg的狄利克雷卷积f∗gf*gf∗g即为(f∗g)(i)=∑d∣if
Rose_max·2020-08-10 14:11

文章标题 数论线性筛总结 (素数筛，欧拉函数筛，莫比乌斯函数筛，前n个数的约数个数筛)

tc_to_top/article/details/48025849线性筛线性筛在数论中起着至关重要的作用，可以大大降低求解一些问题的时间复杂度，使用线性筛有个前提(除了素数筛)所求函数必须是数论上定义的积性函数
Wang_SF2015·2020-08-10 12:01

数论线性筛总结 (素数筛，欧拉函数筛，莫比乌斯函数筛，前n个数的约数个数筛)

线性筛线性筛在数论中起着至关重要的作用，可以大大降低求解一些问题的时间复杂度，使用线性筛有个前提(除了素数筛)所求函数必须是数论上定义的积性函数，即对于正整数n的一个算术函数f(n)，若f(1)=1，且当
_TCgogogo_·2020-08-10 12:58

求逆元步骤总结

这样(a*b/c)%MOD=(a*b*inv)%MOD;性质：逆元是积性函数存在a*b=c，那么inv[c]=inv[a]*inv[b]%MOD;1、循环找解的方法longlon
Fate_O·2020-08-10 01:54

莫比乌斯反演

前言：刚写完积性函数，今天两更，更完睡觉。莫比乌斯函数μ(n)\mu(n)μ(n)：不知道迪利克雷卷积的去隔壁上课。怎么求莫比乌斯函数也在隔壁讲了。并且我们知道了u∗1=eu*1=eu∗1=e。
Zimba_·2020-08-09 15:26

数论之阶与原根讲解

提要：为了减少后面的阅读障碍，先简单介绍一下欧拉函数φ(x)\varphi(x)φ(x)，主要部分后面放积性函数那介绍。
Zimba_·2020-08-09 15:26

一些好玩的数论

1ni3=14[(n+1)4−1]−32∗16n(n+1)(2n+1)−n−14(n+1)n2=14(n4+2n3+n2)=(12n(n+1))2=(∑i=1ni)2公式背后我们可以知道fx=xn这是一个积性函数
jasonvictoryan·2020-08-09 08:35

「学习笔记」Min25筛

前言Min25Min25Min25筛是一种能够用于求解积性函数f(x)f(x)f(x)的前缀和的方法，其前提条件是∑x≤n,x是质数f(x)\sum_{x\leqn,x是质数}f(x)∑x≤n,x是质数
DSL_HN_2002·2020-08-09 05:53

数论函数&狄利克雷卷积

积性函数：f(ab)=f(a)f(b),gcd(a,b)=1，完全积性函数：f(ab)=f(a)f(b)。常见积性函数：φ(n)，μ(n)（莫比乌斯函数），d(n)（因子个数），σ(n)（因子和）。
ZigZagK·2020-08-09 04:30

常见的积性函数与狄利克雷卷积

除数函数：σx(n)=∑d∣ndx\sigma_x(n)=\sum_{d|n}d^xσx(n)=∑d∣ndx约数个数函数：d(n)=∑d∣n1d(n)=\sum_{d|n}1d(n)=∑d∣n1约数和函数：σ(n)=∑d∣nd\sigma(n)=\sum_{d|n}dσ(n)=∑d∣nd元函数：e(n)=[n==1]e(n)=[n==1]e(n)=[n==1]({1,0,0,0,0.....})(
1035719430·2020-08-08 13:25

（数论一）积性函数与狄利克雷卷积

今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的，很懵逼。觉得有必要学一手了一.积性函数是什么呢？
ivan_zcy·2020-08-08 12:11

狄利克雷卷积

运算为：(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)狄利克雷卷积的性质：交换律：f∗g=g∗f结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)分配率：f∗(g+h)=f∗g+f∗h单位元：f∗e=e∗f若f,g均为积性函数
Greninja_Wu·2020-08-08 12:33

线性筛模板--素数、分解素因子/欧拉函数、莫比乌斯函数模板（未完待续）

=0，，p、q互质，这是积性函数性质，由①得phi(pq)=phi(q)*(p-1),③如果qmodp==0,那么phi(q*p)==phi(q)*p（完整证明略，与上面查了）二.莫比乌斯函数：见我另一篇
zjyang12345·2020-08-07 23:19

Min_25筛--简明版

强烈推荐链接一.前置技能埃式筛法：标记素数的倍数（线性筛是标记每个数的素数倍数）积性函数性质:(积性函数比如欧拉函数需要条件gcd(a,b)=1，完全积性函数不需要）二.适用范围min2.5筛:质数幂的多项式
zjyang12345·2020-08-07 23:48

HDU_5528_Count a * b （推式子+积性函数）*

参考一位很牛的大佬博客：https://blog.csdn.net/firstlucker/article/details/49336427https://www.cnblogs.com/edward108/p/7636856.html         分析：f(n)=n2−∑i=0n−1∑j=0n−1n∣(i∗j)=n2−∑i=1n∑j=1nn∣(i∗j)注：表明j中含有（n/gcd(i,n)）
nowting_csdn·2020-08-07 21:57

bzoj 2627: JZPKIL [伯努利数 Pollard-rho]

JZPKIL题意：求\[\sum_{i=1}^n(n,i)^x[i,n]^y,\[i,n]=lcm(i,n)\]\(n\le10^{18},\x,y\le3000\)本题带来了一种新技巧，n太大，转化成一个积性函数然后求这个积性函数
weixin_33692284·2020-08-07 20:15

莫比乌斯反演基础

⋅Pkak表示一个数的质因数分解，∀i,prime(pi)∧ai∈N+∀i,prime(pi)∧ai∈N+莫比乌斯函数定义莫比乌斯函数是在数论中一个很重要的积性函数，定义如下。若正整数x可质因数分解
GGN_2015·2020-08-07 11:53

Mobius反演与积性函数前缀和演学习笔记 BZOJ 4176 Lucas的数论 SDOI 2015 约数个数和...

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展.数论函数指的是定义域为正整数域,且值域为复数域的函数.数论意义下的和式处理技巧因子\[\sum_{d|n}a_d=\sum_{d|n}a_{\fracnd}\]双重因子\[\sum_{k|n}\sum_{j|k}a_{k,j}=\sum_{k|n}\sum_{j|\fracnk}a_{jk,k}\]\[\sum_{n|k}\sum_{k|j}a_{k,j}=\
dk810510·2020-08-07 10:05

[笔记]莫比乌斯反演乱记

写在前面本文章已同步发布在博主的博客园，也可以去那里看这是蒟蒻第一次写这么长的博文如果觉得写得凑合就点个支持吧qwqqwqqwq前置知识积性函数、狄利克雷卷积、数论分块（这一篇去找gyh吧我讲也讲不好）
loceaner·2020-08-07 10:48

Min 25筛入门

2020.4UPD：min25筛应用用途筛积性函数F的前缀和。（事实上不积性的也可以筛，只要是可以按质因子拆贡献的。）
jokerwyt·2020-08-05 19:05

Min25筛应用

现在来补充一些筛积性函数前缀和之外的基础应用。参考文章：https://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/10061411.html内容记R(x)R(x)R(x)为x的最小质因子。
jokerwyt·2020-08-05 19:04

ACwing 97. 约数之和（唯一分解定理 + 快速幂）

思路：我们知道约数之和是积性函数。即若a,ba,ba,b互素有
跨界鸽王·2020-08-04 17:36

编程中的较高端的数论知识总结1——莫比乌斯反演

编程中的较高端的数论知识总结1——莫比乌斯反演前言一些需要使用到的数论知识简单的知识简化的if语句数论函数概念积性函数（普通的）积性函数完全积性函数常见数论函数莫比乌斯反演小小的计算莫比乌斯函数性质计算方法莫比乌斯反演的严格证明例题
jacky0705·2020-08-03 08:41

莫比乌斯反演+常见数论函数的性质+狄利克雷卷积+数论分块+杜教筛学习笔记

目录预备知识积性函数狄利克雷卷积莫比乌斯反演莫比乌斯反演的约数形式莫比乌斯反演的倍数形式数论分块习题(狄利克雷卷积+莫比乌斯反演)杜教筛习题(杜教筛)一些约定本文中所有未知数如没有特别说明，均为整数\(
weixin_30551963·2020-08-03 06:58

乘法逆元（P3811）(四种方法)

适合单个的，费马小定理，exgcd，都是不错的选择，利用积性函数的方法和欧拉筛的方法适合批量求，但是论时间和空间的话，还是积性函数的方法比较好用，线性的。
diaomeijiao3430·2020-08-01 12:03

HDU 6439(容斥原理+积性函数前缀和+打表）

CongruenceequationTimeLimit:8000/4000MS(Java/Others)MemoryLimit:65536/65536K(Java/Others)TotalSubmission(s):153AcceptedSubmission(s):37ProblemDescriptionThereisasequenceAwhichcontainskintegers.Nowwede
wyj_alone_smile·2020-08-01 07:50

HDU 6428 2018HDU多校赛 第十场 Calculate（莫比乌斯反演 + 积性 + 线性筛）

那么我么令，那么最后的答案就是：我们注意到，是欧拉函数和莫比乌斯函数的迪利克雷卷积，根据定理，积性函数
alpc_qleonardo·2020-08-01 02:25

【51nod2026】Gcd and Lcm（杜教筛）

首先它是个积性函数，并且$f(p^k)=1-p\(k>0)$，这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关，与每个质因数的次数无关，然后我们就容易发现$f(gcd(i,j))\cdotf(lcm
weixin_30415113·2020-07-30 17:22

北方大学 ACM 多校训练赛 第四场-D-积性函数（暴力，因子个数上界）

题目链接：北方大学ACM多校训练赛第四场-D-积性函数题意：定义函数f(n,0)=1;f(n,m)=sigma(d|n)f(d,m-1)*f(n/d,m-1)(m>0);求f(n,m)。
jinglinxiao·2020-07-29 19:25

HDU2824 The Euler function（欧拉函数）

φ(p)=p-1（p是质数），小于这个质数且与其互质的个数就是p-1；φ(p*a)=(p-1)*φ(a)（p是质数且p不能整除a），因为欧拉函数是积性函数，φ(p*a)=φ(p)*φ(a)；φ(p*a)
dengliugong3918·2020-07-29 18:40

浅谈几种筛法

然后我们有一种很妙的想法，那就是构造两个积性函数\(h,g\)，使得\(h=f*g\)然后尝试推一下\(h\)的前缀和，发现：\[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum
dishuanglang5540·2020-07-27 21:26
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